Calcule os limites: lim x 3 4 x-12x^3-6 x^2+11 x-6

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 3 para a expressão . Isso envolve o estudo de limites de funções racionais, onde a gente precisa simplificar a expressão para encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 4(3) - 123^3 -6(3)^2+11(3) -6 = 12 - 1227 - 54 + 33 - 6 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente ficou com uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para tentar cancelar termos iguais. No numerador:
4x - 12 = 4(x - 3)
Agora, vamos fatorar o denominador x^3 -6x^2+11x -6 = (x - 3)(x^2 -3x +2) . Sabemos que x^2 -3x +2 = (x - 1)(x - 2) é uma raiz, então podemos fatorar usando (x - 3)(x - 1)(x - 2) :
E o termo quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Então, o denominador completo é:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
4(x - 3)(x - 3)(x - 1)(x - 2)
A gente pode cancelar o termo 4(x - 1)(x - 2) que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite substituindo 4(3 - 1)(3 - 2) = 42 times 1 = 42 = 2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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