Determine valores a e b para os quais a função
f(x)= x^2+sin (x) & se x >= pi2 a x+b & se pi2 <= x <= 3 2^x & se x>3
seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de e para que essa função seja contínua. Isso significa que não pode ter “saltos” ou “quebras” no gráfico da função. Vamos precisar usar o conceito de limite e garantir que as partes da função se encaixem direitinho nos pontos onde mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o ponto onde a função muda de f(pi2) = (pi2)^2 + sin(pi2) = pi^24 + 1 para f(pi2) = a cdot pi2 + b , que é em pi^24 + 1 = a cdot pi2 + b . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite da função à esquerda deve ser igual ao limite à direita.
À esquerda ( ):
À direita ( ):
Igualando os dois:
Essa é a primeira equação que vamos usar.

Passo 3

Agora, vamos verificar o ponto onde a função muda de f(3) = a cdot 3 + b para f(3) = 2^3 = 8 , que é em 3a + b = 8 . Novamente, garantimos que os limites sejam iguais para evitar “quebras”.
À esquerda ( ):
À direita ( ):
Igualando os dois:
Essa é a segunda equação que vamos usar.

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. b = 8 - 3a
  2. pi^24 + 1 = api2 + (8 - 3a)
Vamos resolver esse sistema para encontrar pi^24 + 1 = api2 + 8 - 3a e api2 + 3a = pi^24 + 1 - 8 .
Primeiro, podemos isolar a(pi2 + 3) = pi^24 - 7 na segunda equação:
a = pi^24 - 7pi2 + 3
Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Vamos reunir os termos com :
Agora, isolamos :

Resposta

Os valores que tornam a função contínua são:
a = pi^24 - 7pi2 + 3
b = 8 - 3a

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