Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado com o estudo de limites no cálculo, especificamente quando a variável tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e como ela se relaciona com a função linear no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
quando
vai para
. A função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que, independente de
ser muito grande ou muito pequeno,
sempre estará dentro desse intervalo:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador, que é
. Quando
tende a
, o valor absoluto de
fica cada vez maior, ou seja,
se aproxima de menos infinito, tornando-se um número muito grande em magnitude negativa.
Passo 4
Vamos agora juntar as informações. Temos a fração
. Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, enquanto
está se tornando um número muito grande em valor absoluto. Dividindo um número que está entre -1 e 1 por um número que está crescendo sem limites, o resultado da fração vai se aproximando de zero. Isso porque o denominador está “arrastando” o numerador para valores cada vez menores.
Passo 5
Matematicamente, podemos expressar isso assim:
À medida que
tende a
,
tende a 0. Pela regra do sanduíche (Teorema do Confronto), se uma função está limitada por duas funções que ambas tendem a zero, então a função em questão também tende a zero.