Calcule os limites: lim x -infty cos (x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado com o estudo de limites no cálculo, especificamente quando a variável tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e como ela se relaciona com a função linear no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de -1 <= cos(x) <= 1 quando vai para . A função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Isso significa que, independente de ser muito grande ou muito pequeno, sempre estará dentro desse intervalo:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador, que é . Quando tende a , o valor absoluto de fica cada vez maior, ou seja, se aproxima de menos infinito, tornando-se um número muito grande em magnitude negativa.

Passo 4

Vamos agora juntar as informações. Temos a fração . Sabemos que está sempre entre -1 e 1, enquanto está se tornando um número muito grande em valor absoluto. Dividindo um número que está entre -1 e 1 por um número que está crescendo sem limites, o resultado da fração vai se aproximando de zero. Isso porque o denominador está “arrastando” o numerador para valores cada vez menores.

Passo 5

Matematicamente, podemos expressar isso assim:
- 1|x| <= cos(x)x <= 1|x|
À medida que tende a , tende a 0. Pela regra do sanduíche (Teorema do Confronto), se uma função está limitada por duas funções que ambas tendem a zero, então a função em questão também tende a zero.

Resposta

lim x -infty cos (x)x = 0

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