Calcule os limites: lim x infty x sin (1x)+(1+32 x+1)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando lim x infty x sin (1x)+(1+32 x+1)^x tende ao infinito da expressão:
Vamos resolver isso dividindo a expressão em duas partes e analisando cada uma separadamente. Vamos precisar de conhecimentos sobre limites, funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte: sin(1x) approx 1x .
Quando x sin(1x) approx x cdot 1x = 1 tende ao infinito, tende a zero. Sabemos que, para valores pequenos de , é aproximadamente igual a . Ou seja:
Multiplicando por :
Portanto, o limite dessa parte é 1.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: (1+32x)^x .
Observamos que, conforme limx to infty (1 + ax)^x = e^a cresce, (1+32x)^x approx e^32 se comporta como . Então podemos simplificar a expressão:
Sabemos que:
Aqui, . Aplicando a fórmula:
Portanto, o limite dessa parte é .

Resposta

Somando os dois limites encontrados:
1 + e^32

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