Calcule as derivadas de:
f(x)=integrala^x^2 sen(t)+1 d t

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos para resolver.
Temos a função:
f(x) = integrala^x^2 ( sin(t) + 1 ) , dt
Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivação de funções definidas por integrais. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida como:
F(x) = integrala^g(x) h(t) , dt
então a derivada de F'(x) = h(g(x)) cdot g'(x) em relação a é:
Ou seja, a derivada da integral é a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada desse limite superior.

Passo 3

Aplicando esse teorema à nossa função f'(x) = ( sin(x^2) + 1 ) cdot ddx(x^2) , identificamos:
  • Função integranda:
  • Limite superior:
Então, a derivada de será:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de ddx(x^2) = 2x :
f'(x) = ( sin(x^2) + 1 ) cdot 2x
Substituindo na expressão anterior, temos:

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2x ( sin(x^2) + 1 )

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