Estude as convergências das sequências a_n :
n^2 / ln(n + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar a convergência da sequência . Isso quer dizer que precisamos descobrir se essa sequência tem um limite quando cresce para infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de limites e comparar o crescimento do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando fica bem grande. O numerador é , que cresce bastante rápido conforme aumenta. Já o denominador é , que também cresce, mas de forma bem mais lenta comparado a .

Passo 3

Para analisar melhor, vamos considerar o limite da sequência quando tende ao infinito:
Sabemos que cresce mais lentamente que qualquer potência de . Isso significa que, conforme fica muito grande, o numerador ( ) vai crescer muito mais rápido que o denominador ( ).

Passo 4

Como resultado, o quociente vai aumentar sem limites à medida que aumenta. Em termos matemáticos, isso significa que o limite tende ao infinito:

Resposta

A sequência não converge, pois seu limite tende ao infinito conforme cresce.

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