Calcule os limites: lim x 4 raiz1+2 x-3raizx-2

Passo 1

Vamos calcular o limite da expressão quando se aproxima de 4. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento de limites e técnicas de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz1+2(4)-3raiz4-2 = raiz9-32-2 = 3-30 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela conjugada de raiz1+2x-3raizx-2 times raiz1+2x+3raiz1+2x+3 = (1+2x) - 9(raizx-2)(raiz1+2x+3) , que é 1 + 2x - 9 = 2x - 8 = 2(x - 4) :
2(x - 4)(raizx-2)(raiz1+2x+3)
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos notar que x - 4 = (raizx-2)(raizx+2) pode ser reescrito usando a identidade 2(raizx-2)(raizx+2)(raizx-2)(raiz1+2x+3) = 2(raizx+2)raiz1+2x+3 . Mas aqui, para simplificar, podemos observar que . Portanto:
Substituindo na expressão anterior:
Agora, podemos cancelar o termo do numerador e denominador.

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir 2(raiz4+2)raiz1+2(4)+3 = 2(2+2)raiz9+3 = 2 times 43 + 3 = 86 = 43 :

Resposta

O limite é .

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