Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' = 3 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Aqui estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, que basicamente relacionam uma função com sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente o conceito de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. Ela indica que a taxa de variação de em relação a (ou seja, a derivada ) é proporcional a mesmo, com uma constante de proporcionalidade de 3.

Passo 3

Para resolver, vamos usar a separação de variáveis, que é uma técnica onde colocamos todas as expressões com de um lado e as com do outro. Vamos fazer isso passo a passo:
Dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar . A integral de é , e a integral de é :
Aqui, é a constante de integração, que aparece porque estamos resolvendo uma equação diferencial.

Passo 5

Para isolar , vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar isso lembrando que . Como é apenas uma constante positiva, podemos chamá-la de (onde ):
Como é uma constante qualquer, podemos simplesmente chamá-la de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante arbitrária.

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