Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Aqui estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, que basicamente relacionam uma função com sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente o conceito de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
está nos dizendo. Ela indica que a taxa de variação de
em relação a
(ou seja, a derivada
) é proporcional a
mesmo, com uma constante de proporcionalidade de 3.
Passo 3
Para resolver, vamos usar a separação de variáveis, que é uma técnica onde colocamos todas as expressões com
de um lado e as com
do outro. Vamos fazer isso passo a passo:
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
. A integral de
é
, e a integral de
é
:
Aqui,
é a constante de integração, que aparece porque estamos resolvendo uma equação diferencial.
Passo 5
Para isolar
, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar isso lembrando que
. Como
é apenas uma constante positiva, podemos chamá-la de
(onde
):
Como
é uma constante qualquer, podemos simplesmente chamá-la de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
(Enem-2018) Ao soltar um martelo e uma pena na lua em 1973, o astronauta David Scott confirmou que ambos atingiram juntos a superfície. O cientista italiano Galileu Galilei (1564-1642), um dos maiores pensadores de todos os tempos, previu que, se minimizarmos a resistência do ar, os corpos chegariam juntos à superfície.
OLIVEIRA, A. A influência do olhar. Disponível em: www. cienciahoje.org.br. Acesso em: 15 ago. 2016. Adaptado.
Na demonstração, o astronauta deixou cair em um mesmo instante e de uma mesma altura um martelo de e uma pena de 30 g . Durante a queda no vácuo, esses objetos apresentam iguais
A) inércias
B) impulsos
C) trabalhos
D) acelerações
E) energias potenciais
OLIVEIRA, A. A influência do olhar. Disponível em: www. cienciahoje.org.br. Acesso em: 15 ago. 2016. Adaptado.
Na demonstração, o astronauta deixou cair em um mesmo instante e de uma mesma altura um martelo de
A) inércias
B) impulsos
C) trabalhos
D) acelerações
E) energias potenciais
Calcule os limites:
Seja
, onde
. Mostre que
é contínua em
.