Calcule os limites: lim x 8 raiz2+raiz[3]x-2x-8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
limx 8 raiz2+raiz[3]x - 2x - 8
Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem radicais e queremos descobrir o comportamento da função quando se aproxima de 8. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e cálculo, especificamente a Regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz2+raiz[3]8 - 2 = raiz2 + 2 - 2 = raiz4 - 2 = 2 - 2 = 0 diretamente na expressão:
No numerador:
8 - 8 = 0
No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a f(x) = raiz2 + raiz[3]x - 2 .
Primeiro, derivamos o numerador:
f'(x) = 12raiz2 + raiz[3]x cdot ( 13x^-2/3 )
A derivada de f'(x) = 16raiz2 + raiz[3]x cdot x^2/3 é g(x) = x - 8 , onde g'(x) = 1 . Então:
Simplificando:
Agora, derivamos o denominador:
A derivada de é 1, e a derivada de uma constante é 0, então:

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
limx 8 f(x)g(x) = limx 8 f'(x)g'(x) = limx 8 16raiz2 + raiz[3]x cdot x^2/3
Agora substituímos raiz[3]8 = 2 na expressão derivada:
Primeiro, calculamos 2 + raiz[3]8 = 2 + 2 = 4 :
raiz4 = 2
Então:
8^2/3 = (8^1/3)^2 = 2^2 = 4
E:
Também, quando :

Passo 5

Substituindo tudo na expressão derivada:
16 cdot 2 cdot 4 = 148

Resposta

O limite é .

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