Calcule os limites: lim x 0 sec x-1x^2 sec x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de sec x - 1x^2 sec x quando x se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de 0:
  • Numerador: sec x - 1. Sabemos que sec 0 = 1, então o numerador tende para 1 - 1 = 0.
  • Denominador: x^2 sec x. Como x^2 tende para 0 e sec 0 = 1, o denominador também tende para 0.
Assim, temos uma forma indeterminada 00, o que nos indica que podemos usar a Regra de L’Hospital para resolver esse limite.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então podemos calcular o limite das derivadas:
limx to 0 sec x - 1x^2 sec x = limx to 0 f'(x)g'(x)
Vamos calcular as derivadas de f(x) = sec x - 1 e g(x) = x^2 sec x.
  • Derivada do numerador:
    f'(x) = ddx(sec x) - ddx(1) = sec x tan x
  • Derivada do denominador:
    Usando a regra do produto:
    g'(x) = ddx(x^2) cdot sec x + x^2 cdot ddx(sec x) = 2x sec x + x^2 sec x tan x

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
limx to 0 sec x tan x2x sec x + x^2 sec x tan x
Vamos avaliar este limite substituindo x = 0:
  • tan 0 = 0
  • sec 0 = 1
Então:
1 cdot 02 cdot 0 cdot 1 + 0^2 cdot 1 cdot 0 = 00
Novamente, temos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos aplicar a Regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador.
  • Derivada do numerador: sec x tan x
    ddx(sec x tan x) = sec x tan^2x + sec^3x
  • Derivada do denominador: 2x sec x + x^2 sec x tan x
    ddx(2x sec x + x^2 sec x tan x) = 2 sec x + 2x sec x tan x + 2x sec x tan x + x^2 (sec^3x + sec x tan^2x)
Agora, substituímos x = 0:
  • tan 0 = 0
  • sec 0 = 1
Então:
1 cdot 0 + 1^32 cdot 1 + 0 + 0 + 0 = 12

Resposta

O limite é 12.

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