Calcule os limites:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0:
- Numerador:
. Sabemos que , então o numerador tende para . - Denominador:
. Como tende para 0 e , o denominador também tende para .
Assim, temos uma forma indeterminada
, o que nos indica que podemos usar a Regra de L’Hospital para resolver esse limite.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos calcular as derivadas de
e
.
-
Derivada do numerador:
-
Derivada do denominador:
Usando a regra do produto:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Vamos avaliar este limite substituindo
:
Então:
Novamente, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos aplicar a Regra de L’Hospital mais uma vez.
Passo 5
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador.
-
Derivada do numerador:
-
Derivada do denominador:
Agora, substituímos
:
Então:
Resposta
O limite é
.
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Calcule os seguintes limites:
, em que
.
Sabendo que
, para todos os valores de
próximos a zero, calcule
Calcule os limites:
Dada a função
verifique se a função é contínua em
.