Calcule os limites:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0:
  • Numerador: . Sabemos que , então o numerador tende para .
  • Denominador: . Como tende para 0 e , o denominador também tende para .
Assim, temos uma forma indeterminada , o que nos indica que podemos usar a Regra de L’Hospital para resolver esse limite.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos calcular as derivadas de e .
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
    Usando a regra do produto:

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
Vamos avaliar este limite substituindo :
Então:
Novamente, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos aplicar a Regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador.
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Agora, substituímos :
Então:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites: , em que .
Sabendo que , para todos os valores de próximos a zero, calcule
Calcule os limites:
Dada a função
verifique se a função é contínua em .

FORMULÁRIO

Limites Fundamentais