Calcule os seguintes limites:
, em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de
quando
tende a mais e a menos infinito, onde
é um número real. Vamos usar conceitos de cálculo de limites e funções exponenciais para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com a expressão
quando
vai para mais infinito. Quando
aumenta muito, o termo
fica bem pequeno, próximo de zero. Então, a expressão fica parecendo
elevado a uma potência grande.
Passo 3
Agora, sabemos que
. Esse é um limite fundamental que define a base do logaritmo natural, o número
. Vamos usar essa propriedade com
.
Passo 4
Aplicando essa regra ao nosso caso, temos:
Então, quando
tende a mais infinito, a expressão se aproxima de
elevado a
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a menos infinito. Podemos fazer uma substituição para facilitar: deixe
, então quando
,
. A expressão fica:
Isso se transforma em:
Passo 6
Novamente, usando a propriedade do limite que mencionamos antes, sabemos que:
Portanto, a expressão inteira se torna:
Resposta
Portanto, o limite é
tanto quando
tende a mais infinito quanto a menos infinito.
Exercícios relacionados
Sabendo que
, para todos os valores de
próximos a zero, calcule
Use a definição de limites para mostrar que:
.
Calcule os limites:
Calcule os limites: