Calcule os seguintes limites: lim x pm infty(1+bx)^x, em que b in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de (1+bx)^x quando x tende a mais e a menos infinito, onde b é um número real. Vamos usar conceitos de cálculo de limites e funções exponenciais para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com a expressão (1+bx)^x quando x vai para mais infinito. Quando x aumenta muito, o termo bx fica bem pequeno, próximo de zero. Então, a expressão fica parecendo 1 elevado a uma potência grande.

Passo 3

Agora, sabemos que limn to infty (1 + an)^n = e^a. Esse é um limite fundamental que define a base do logaritmo natural, o número e approx 2,71828. Vamos usar essa propriedade com a = b.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso, temos:
limx to infty (1 + bx)^x = e^b
Então, quando x tende a mais infinito, a expressão se aproxima de e elevado a b.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando x tende a menos infinito. Podemos fazer uma substituição para facilitar: deixe y = -x, então quando x to -infty, y to +infty. A expressão fica:
(1 + b-y)^-y = (1 - by)^-y
Isso se transforma em:
[(1 - by)^y]^-1

Passo 6

Novamente, usando a propriedade do limite que mencionamos antes, sabemos que:
limy to infty (1 - by)^y = e^-b
Portanto, a expressão inteira se torna:
(e^-b)^-1 = e^b

Resposta

Portanto, o limite é e^b tanto quando x tende a mais infinito quanto a menos infinito.

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