Calcule os seguintes limites: , em que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de quando tende a mais e a menos infinito, onde é um número real. Vamos usar conceitos de cálculo de limites e funções exponenciais para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com a expressão quando vai para mais infinito. Quando aumenta muito, o termo fica bem pequeno, próximo de zero. Então, a expressão fica parecendo elevado a uma potência grande.

Passo 3

Agora, sabemos que . Esse é um limite fundamental que define a base do logaritmo natural, o número . Vamos usar essa propriedade com .

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso, temos:
Então, quando tende a mais infinito, a expressão se aproxima de elevado a .

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando tende a menos infinito. Podemos fazer uma substituição para facilitar: deixe , então quando , . A expressão fica:
Isso se transforma em:

Passo 6

Novamente, usando a propriedade do limite que mencionamos antes, sabemos que:
Portanto, a expressão inteira se torna:

Resposta

Portanto, o limite é tanto quando tende a mais infinito quanto a menos infinito.

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Sabendo que , para todos os valores de próximos a zero, calcule
Use a definição de limites para mostrar que: .
Calcule os limites:
Calcule os limites: