Dada a função
f(x)= e^x-1sin x, & se x neq 0 1, & se x=0
verifique se a função é contínua em x=0.
f(x)=1, x=0

FORMULÁRIO

Limites Fundamentais

lim x 0 sin xx=1 lim x pm infty(1+1x)^x=e lim x 0 a^x-1x=ln a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de um jeito diferente quando é zero e quando não é zero. O exercício pede para a gente verificar se essa função é contínua em . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em .

Passo 3

Vamos analisar cada uma dessas condições para limx to 0 f(x) = limx to 0 e^x - 1sin x :
  1. está definido?
    Sim, pelo enunciado, .
  2. O limite de quando se aproxima de 0 existe?
    Vamos calcular:
    Precisamos resolver esse limite.

Passo 4

Para resolver o limite limx to 0 e^x - 1x = ln e = 1 (pois ln e = 1) , vamos usar as propriedades dos limites e as fórmulas fornecidas no formulário.
Primeiro, sabemos que:
limx to 0 sin xx = 1
E também:
limx to 0 e^x - 1sin x = limx to 0 e^x - 1xsin xx = 11 = 1
Podemos reescrever o limite original dividindo numerador e denominador por :

Passo 5

Agora, vamos comparar o limite que encontramos com o valor da função em limx to 0 f(x) = 1 e f(0) = 1 :
Como o limite é igual ao valor da função em , todas as condições para a continuidade são satisfeitas.

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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