Dada a função
verifique se a função é contínua em
.
FORMULÁRIO
Limites Fundamentais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de um jeito diferente quando
é zero e quando
não é zero. O exercício pede para a gente verificar se essa função é contínua em
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem verdadeiras:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em
.
Passo 3
Vamos analisar cada uma dessas condições para
:
-
está definido?
Sim, pelo enunciado,. -
O limite de
quando se aproxima de 0 existe?
Vamos calcular:Precisamos resolver esse limite.
Passo 4
Para resolver o limite
, vamos usar as propriedades dos limites e as fórmulas fornecidas no formulário.
Primeiro, sabemos que:
E também:
Podemos reescrever o limite original dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Agora, vamos comparar o limite que encontramos com o valor da função em
:
Como o limite é igual ao valor da função em
, todas as condições para a continuidade são satisfeitas.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
Calcule os limites:
Um ponto material em movimento sobre uma
Exprima como função de
: o volume de uma esfera de raio
.