Dada a função
verifique se a função é contínua em .

FORMULÁRIO

Limites Fundamentais

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de um jeito diferente quando é zero e quando não é zero. O exercício pede para a gente verificar se essa função é contínua em . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em .

Passo 3

Vamos analisar cada uma dessas condições para :
  1. está definido?
    Sim, pelo enunciado, .
  2. O limite de quando se aproxima de 0 existe?
    Vamos calcular:
    Precisamos resolver esse limite.

Passo 4

Para resolver o limite , vamos usar as propriedades dos limites e as fórmulas fornecidas no formulário.
Primeiro, sabemos que:
E também:
Podemos reescrever o limite original dividindo numerador e denominador por :

Passo 5

Agora, vamos comparar o limite que encontramos com o valor da função em :
Como o limite é igual ao valor da função em , todas as condições para a continuidade são satisfeitas.

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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Um ponto material em movimento sobre uma
Exprima como função de : o volume de uma esfera de raio .