Calcule os limites
lim x 0^+ sen(x) ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de sen(x) ln x quando x se aproxima de 0 pela direita. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e logarítmicas, além de entender como elas se comportam perto de certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as funções envolvidas. Sabemos que sen(x) approx x quando x to 0 é a função seno, que, quando sen(x) ln x approx x ln x está bem perto de 0, pode ser aproximada por . Ou seja:
Isso simplifica nossa expressão original para:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de limx to 0^+ x ln x quando se aproxima de 0 pela direita:
Esse tipo de limite pode ser um pouco complicado porque, à primeira vista, parece que estamos multiplicando 0 por , o que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos fazer uma substituição inteligente.

Passo 4

Vamos definir uma nova variável x ln x = ln x1x = ln (1t)t = -ln tt tal que limt to +infty -ln tt . Assim, quando , . Substituindo na expressão:
Agora, temos:
Sabemos que, para grandes valores de , cresce muito mais devagar que mesmo. Portanto, o limite dessa fração é 0.

Resposta

limx 0^+ sen(x) ln x = 0

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