Calcule os limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de
quando
se aproxima de
pela direita. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e logarítmicas, além de entender como elas se comportam perto de certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as funções envolvidas. Sabemos que
é a função seno, que, quando
está bem perto de 0, pode ser aproximada por
. Ou seja:
Isso simplifica nossa expressão original para:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita:
Esse tipo de limite pode ser um pouco complicado porque, à primeira vista, parece que estamos multiplicando 0 por
, o que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos fazer uma substituição inteligente.
Passo 4
Vamos definir uma nova variável
tal que
. Assim, quando
,
. Substituindo na expressão:
Agora, temos:
Sabemos que, para grandes valores de
,
cresce muito mais devagar que
mesmo. Portanto, o limite dessa fração é 0.