Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular . Isso envolve o conteúdo de limites e indeterminações na matemática. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e possivelmente usar técnicas para eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos diretamente o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma indeterminação do tipo . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação , uma técnica comum é racionalizar a expressão. No nosso caso, o numerador tem uma raiz quadrada, então vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz. O conjugado de é .
Multiplicando:

Passo 4

Agora, vamos resolver o numerador usando a identidade :
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Observe que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Substituindo na expressão:
Note que , então podemos reescrever:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o termo no numerador e no denominador, já que (estamos calculando o limite quando se aproxima de 4, mas não é exatamente 4):

Passo 7

Agora, podemos substituir nessa expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Calcule os limites
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Calcule os limites
Seja a função definida por e admitindo que
Determine o valor de para cada dado:
a)
Seja a função definida por e admitindo que
Determine o valor de para cada dado:
b)