Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
c) lim x 4 2-raizxx^2-16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular . Isso envolve o conteúdo de limites e indeterminações na matemática. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e possivelmente usar técnicas para eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos diretamente o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2 - raiz44^2 - 16 = 2 - 216 - 16 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma indeterminação do tipo . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação 2 - raizxx^2 - 16 times 2 + raizx2 + raizx = (2 - raizx)(2 + raizx)(x^2 - 16)(2 + raizx) , uma técnica comum é racionalizar a expressão. No nosso caso, o numerador tem uma raiz quadrada, então vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz. O conjugado de é .
Multiplicando:

Passo 4

Agora, vamos resolver o numerador usando a identidade (2 - raizx)(2 + raizx) = 2^2 - (raizx)^2 = 4 - x :
4 - x(x^2 - 16)(2 + raizx)
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Observe que x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
4 - x(x - 4)(x + 4)(2 + raizx)
Substituindo na expressão:
-(x - 4)(x - 4)(x + 4)(2 + raizx) = -1(x + 4)(2 + raizx)
Note que , então podemos reescrever:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o termo -1(x + 4)(2 + raizx) no numerador e no denominador, já que (estamos calculando o limite quando se aproxima de 4, mas não é exatamente 4):

Passo 7

Agora, podemos substituir -1(4 + 4)(2 + raiz4) = -18 times (2 + 2) = -18 times 4 = -132 nessa expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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