Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular
. Isso envolve o conteúdo de limites e indeterminações na matemática. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e possivelmente usar técnicas para eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos diretamente o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma indeterminação do tipo
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação
, uma técnica comum é racionalizar a expressão. No nosso caso, o numerador tem uma raiz quadrada, então vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz. O conjugado de
é
.
Multiplicando:
Passo 4
Agora, vamos resolver o numerador usando a identidade
:
Então, nossa expressão fica:
Passo 5
Observe que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Substituindo na expressão:
Note que
, então podemos reescrever:
Passo 6
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador e no denominador, já que
(estamos calculando o limite quando
se aproxima de 4, mas não é exatamente 4):
Passo 7
Agora, podemos substituir
nessa expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Calcule os limites
Seja
a função definida por
e admitindo que
Determine o valor de
para cada
dado:
a)
a)
Seja
a função definida por
e admitindo que
Determine o valor de
para cada
dado:
b)
b)