Calcule os limites
lim x 0 3^x3^x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do tópico de Cálculo, especificamente envolvendo limites. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as funções exponenciais e como calcular limites quando se aproxima de um valor.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 0. Sabemos que qualquer número elevado a zero é igual a 1. Então, quando está perto de 0, está perto de 1.

Passo 3

Vamos substituir 3^x approx 1 + x ln 3 por uma aproximação usando a expansão em série de Taylor para funções exponenciais perto de 0. A aproximação fica:
onde é o logaritmo natural de 3.

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
3^x3^x - 1 approx 1 + x ln 3(1 + x ln 3) - 1 = 1 + x ln 3x ln 3

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração:
1 + x ln 3x ln 3 = 1x ln 3 + x ln 3x ln 3 = 1x ln 3 + 1
À medida que se aproxima de 0, o termo cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito positivo.

Resposta

Exercícios relacionados