Calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função quando o ponto se aproxima de . Isso envolve conceitos de limites em funções de várias variáveis, mas como a função só tem , podemos focar nela. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a função exponencial e o seno perto de zero usando séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando está bem perto de zero, a função seno pode ser aproximada por sua série de Taylor. Sabemos que:
Mas para simplificar, vamos usar apenas os primeiros termos:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na função exponencial:
A função exponencial também pode ser expandida em série de Taylor:
Para próximo de zero, os termos de ordem superior (como ) são desprezíveis, então podemos aproximar:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa aproximação na nossa função original:
Dividindo cada termo do numerador por , temos:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando se aproxima de zero:
  • O primeiro termo, , tende para infinito positivo conforme se aproxima de zero pela direita.
  • O segundo termo, , tende para zero.
Portanto, a parte que domina é , que cresce sem limite.

Resposta

O limite tende para .

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Usando o método dos coeficientes a determinar, resolver o PVI.
Determine valor dos limites abaixo: