Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Isso envolve conceitos de limites em funções de várias variáveis, mas como a função só tem
, podemos focar nela. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a função exponencial e o seno perto de zero usando séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando
está bem perto de zero, a função seno pode ser aproximada por sua série de Taylor. Sabemos que:
Mas para simplificar, vamos usar apenas os primeiros termos:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na função exponencial:
A função exponencial
também pode ser expandida em série de Taylor:
Para
próximo de zero, os termos de ordem superior (como
) são desprezíveis, então podemos aproximar:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa aproximação na nossa função original:
Dividindo cada termo do numerador por
, temos:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de zero:
- O primeiro termo,
, tende para infinito positivo conforme se aproxima de zero pela direita. - O segundo termo,
, tende para zero.
Portanto, a parte que domina é
, que cresce sem limite.
Resposta
O limite
tende para
.