Calcule os limites: lim (x, y) (0,0) e^x sen xx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função e^x sen xx quando o ponto (x, y) se aproxima de (0,0). Isso envolve conceitos de limites em funções de várias variáveis, mas como a função só tem x, podemos focar nela. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a função exponencial e o seno perto de zero usando séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando x está bem perto de zero, a função seno pode ser aproximada por sua série de Taylor. Sabemos que:
sen x approx x - x^36
Mas para simplificar, vamos usar apenas os primeiros termos:
sen x approx x

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na função exponencial:
e^x sen x approx e^x cdot x = e^x^2
A função exponencial e^x^2 também pode ser expandida em série de Taylor:
e^x^2 = 1 + x^2 + x^42! + cdots
Para x próximo de zero, os termos de ordem superior (como x^4) são desprezíveis, então podemos aproximar:
e^x^2 approx 1 + x^2

Passo 4

Agora, vamos substituir essa aproximação na nossa função original:
e^x sen xx approx 1 + x^2x
Dividindo cada termo do numerador por x, temos:
1x + x

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando x se aproxima de zero:
  • O primeiro termo, 1x, tende para infinito positivo conforme x se aproxima de zero pela direita.
  • O segundo termo, x, tende para zero.
Portanto, a parte que domina é 1x, que cresce sem limite.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) e^x sen xx tende para +infty.

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