Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função quando o ponto se aproxima de . Isso envolve conceitos de limites em funções de várias variáveis, mas como a função só tem , podemos focar nela. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a função exponencial e o seno perto de zero usando séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando está bem perto de zero, a função seno pode ser aproximada por sua série de Taylor. Sabemos que:
Mas para simplificar, vamos usar apenas os primeiros termos:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na função exponencial:
A função exponencial também pode ser expandida em série de Taylor:
Para próximo de zero, os termos de ordem superior (como ) são desprezíveis, então podemos aproximar:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa aproximação na nossa função original:
Dividindo cada termo do numerador por , temos:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando se aproxima de zero:
O primeiro termo, , tende para infinito positivo conforme se aproxima de zero pela direita.
O segundo termo, , tende para zero.
Portanto, a parte que domina é , que cresce sem limite.