Determine o valor dos limites abaixo: lim (x, y) (1,1) x^2-x yx^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o limite da função quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, então vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que temos:
x^2 - xyx^2 - y^2
Para simplificar, vamos tentar fatorar o numerador e o denominador. Isso ajuda a cancelar termos que se repetem e facilita o cálculo do limite.

Passo 3

Vamos começar fatorando o numerador x^2 - xy = x(x - y) . Podemos fatorar um x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) em comum:
Agora, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 4

Substituindo essas fatorações na expressão original, temos:
x^2 - xyx^2 - y^2 = x(x - y)(x - y)(x + y)
Agora, percebemos que o termo x(x - y)(x - y)(x + y) = xx + y aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar cancelando esse termo (desde que , o que é verdadeiro quando estamos calculando o limite):

Passo 5

Agora, nossa expressão ficou bem mais simples:
xx + y
Para encontrar o limite quando 11 + 1 = 12 , basta substituir e por 1 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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