Calcule os limites: lim (x, y) (0,0) e^x y sen x yx y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função quando lim (x, y) (0,0) e^x y sin(x y)x y se aproxima de . A função é:
Esse problema está relacionado com limites de funções de duas variáveis e vai envolver algumas propriedades de limites de funções de uma variável também.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo e^u sin(u)u . Assim, quando se aproxima de , também se aproxima de . A expressão fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de quando tende a . Vamos separar isso em duas partes:

Passo 4

Sabemos que:
limu to 0 sin(u)u = 1
Isso porque, quando é próximo de zero, é aproximadamente igual a .

Passo 5

Também sabemos que:
limu to 0 e^u = e^0 = 1
Pois qualquer número elevado a zero é igual a 1.

Passo 6

Agora, juntando os dois resultados, temos:
limu to 0 e^u sin(u)u = ( limu to 0 e^u ) times ( limu to 0 sin(u)u ) = 1 times 1 = 1

Resposta

O limite é igual a .

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