Resolver a seguinte equação diferencial homogênea ( Dica, faça .). Se a solução é da forma , determine o Wronskiano das soluçōes e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea: . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares homogêneas e o método de substituição para facilitar a resolução. A dica do enunciado sugere fazermos uma mudança de variável , que vai ajudar a simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que . Agora, precisamos expressar as derivadas de em termos de .
Passo 3
Calculando as derivadas:
Aqui, usamos a regra da cadeia para as derivadas.
Passo 4
Substituindo na equação original:
Agora, a equação está em termos de , o que simplifica nossa análise.
Passo 5
Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
A solução para esse tipo de equação assume . Vamos aplicar isso aqui.
Passo 6
Assumindo , calculamos as derivadas:
Substituindo essas na equação:
Passo 7
Simplificando:
Fatorando :
Como , temos a equação característica:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática:
As raízes são complexas: e
Passo 9
A solução geral para raízes complexas é:
Aqui, e .
Passo 10
Substituindo e :
Lembrando que , então:
Passo 11
Agora, precisamos determinar o Wronskiano das soluções e . O Wronskiano é dado por:
Para soluções de uma equação linear de segunda ordem, o Wronskiano pode ser encontrado usando a fórmula:
Onde e são os coeficientes da equação padrão.
Passo 12
Na nossa equação simplificada:
Dividindo tudo por :
Aqui, e .
Passo 13
Calculando o Wronskiano:
Onde é uma constante.
Resposta
O Wronskiano das soluções e é , onde é uma constante.