Resolver a seguinte equação diferencial homogênea
( Dica, faça
.). Se a solução é da forma
, determine o Wronskiano das soluçōes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea:
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares homogêneas e o método de substituição para facilitar a resolução. A dica do enunciado sugere fazermos uma mudança de variável
, que vai ajudar a simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que
. Agora, precisamos expressar as derivadas de
em termos de
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Aqui, usamos a regra da cadeia para as derivadas.
Passo 4
Substituindo
na equação original:
Agora, a equação está em termos de
, o que simplifica nossa análise.
Passo 5
Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
A solução para esse tipo de equação assume
. Vamos aplicar isso aqui.
Passo 6
Assumindo
, calculamos as derivadas:
Substituindo essas na equação:
Passo 7
Simplificando:
Fatorando
:
Como
, temos a equação característica:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática:
As raízes são complexas:
e
Passo 9
A solução geral para raízes complexas
é:
Aqui,
e
.
Passo 10
Substituindo
e
:
Lembrando que
, então:
Passo 11
Agora, precisamos determinar o Wronskiano das soluções
e
. O Wronskiano
é dado por:
Para soluções de uma equação linear de segunda ordem, o Wronskiano pode ser encontrado usando a fórmula:
Onde
e
são os coeficientes da equação padrão.
Passo 12
Na nossa equação simplificada:
Dividindo tudo por
:
Aqui,
e
.
Passo 13
Calculando o Wronskiano:
Onde
é uma constante.
Resposta
O Wronskiano das soluções
e
é
, onde
é uma constante.