Resolver a seguinte equação diferencial homogênea ( Dica, faça .). Se a solução é da forma , determine o Wronskiano das soluçōes e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea: . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares homogêneas e o método de substituição para facilitar a resolução. A dica do enunciado sugere fazermos uma mudança de variável , que vai ajudar a simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que . Agora, precisamos expressar as derivadas de em termos de .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Aqui, usamos a regra da cadeia para as derivadas.

Passo 4

Substituindo na equação original:
Agora, a equação está em termos de , o que simplifica nossa análise.

Passo 5

Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
A solução para esse tipo de equação assume . Vamos aplicar isso aqui.

Passo 6

Assumindo , calculamos as derivadas:
Substituindo essas na equação:

Passo 7

Simplificando:
Fatorando :
Como , temos a equação característica:

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática:
As raízes são complexas: e

Passo 9

A solução geral para raízes complexas é:
Aqui, e .

Passo 10

Substituindo e :
Lembrando que , então:

Passo 11

Agora, precisamos determinar o Wronskiano das soluções e . O Wronskiano é dado por:
Para soluções de uma equação linear de segunda ordem, o Wronskiano pode ser encontrado usando a fórmula:
Onde e são os coeficientes da equação padrão.

Passo 12

Na nossa equação simplificada:
Dividindo tudo por :
Aqui, e .

Passo 13

Calculando o Wronskiano:
Onde é uma constante.

Resposta

O Wronskiano das soluções e é , onde é uma constante.

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