( 5 pontos) Consideremos uma função
de duas variáveis. Agora, consideremos uma região
localizada inteiramente dentro do domínio de
. Se a região R for inteiramente delimitada por uma curva fechada C, podemos encontrarmos o maior e o menor valor atingidos por
olhando apenas para pontos da região R (incluindo pontos no interior da região e na curva C que delimita a região). Com base nos conhecimentos aprendidos em C 2 , explique o passo a passo que poderia ser realizado para encontrar tais valores.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função
de duas variáveis e uma região
que está completamente dentro do domínio dessa função, delimitada por uma curva fechada
. Queremos encontrar os maiores e menores valores que
atinge dentro dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, como pontos críticos e análise da fronteira.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar os pontos críticos de
dentro da região
. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:
Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos dentro da região.
Passo 3
Depois de encontrar os pontos críticos, avaliamos a função
nesses pontos para determinar seus valores. Esses valores são potenciais candidatos para ser o maior ou o menor valor que
atinge na região
.
Passo 4
O próximo passo é analisar a fronteira da região
, que é a curva fechada
. Para isso, precisamos parametrizar a curva
. Isso significa expressar
e
em termos de uma variável, digamos
:
Passo 5
Com a parametrização da curva
, substituímos
e
na função
para obter uma função de uma variável
:
Agora, encontramos os extremos de
no intervalo
calculando a derivada
e resolvendo
. Os valores de
que satisfazem essa equação nos dão os pontos na fronteira onde
pode ter máximos ou mínimos.
Passo 6
Além dos pontos encontrados nos passos anteriores, também precisamos verificar os valores de
nos pontos finais do intervalo
, caso existam, para garantir que não estamos deixando de fora nenhum valor extremo.
Passo 7
Finalmente, com todos os valores de
nos pontos críticos internos e nos pontos extremos da fronteira, comparamos esses valores para determinar qual é o maior e qual é o menor. Esses serão, respectivamente, o máximo absoluto e o mínimo absoluto de
na região
.
Resposta
Seguindo esses passos, identificamos que os maiores e menores valores de
na região
são o máximo absoluto e o mínimo absoluto encontrados na análise dos pontos críticos internos e dos extremos na fronteira
.
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( Dica, faça
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, determine o Wronskiano das soluçōes
e
.