( 5 pontos) Consideremos uma função de duas variáveis. Agora, consideremos uma região localizada inteiramente dentro do domínio de . Se a região R for inteiramente delimitada por uma curva fechada C, podemos encontrarmos o maior e o menor valor atingidos por olhando apenas para pontos da região R (incluindo pontos no interior da região e na curva C que delimita a região). Com base nos conhecimentos aprendidos em C 2 , explique o passo a passo que poderia ser realizado para encontrar tais valores.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função de duas variáveis e uma região que está completamente dentro do domínio dessa função, delimitada por uma curva fechada . Queremos encontrar os maiores e menores valores que atinge dentro dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, como pontos críticos e análise da fronteira.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os pontos críticos de dentro da região . Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:
Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos dentro da região.

Passo 3

Depois de encontrar os pontos críticos, avaliamos a função nesses pontos para determinar seus valores. Esses valores são potenciais candidatos para ser o maior ou o menor valor que atinge na região .

Passo 4

O próximo passo é analisar a fronteira da região , que é a curva fechada . Para isso, precisamos parametrizar a curva . Isso significa expressar e em termos de uma variável, digamos :

Passo 5

Com a parametrização da curva , substituímos e na função para obter uma função de uma variável :
Agora, encontramos os extremos de no intervalo calculando a derivada e resolvendo . Os valores de que satisfazem essa equação nos dão os pontos na fronteira onde pode ter máximos ou mínimos.

Passo 6

Além dos pontos encontrados nos passos anteriores, também precisamos verificar os valores de nos pontos finais do intervalo , caso existam, para garantir que não estamos deixando de fora nenhum valor extremo.

Passo 7

Finalmente, com todos os valores de nos pontos críticos internos e nos pontos extremos da fronteira, comparamos esses valores para determinar qual é o maior e qual é o menor. Esses serão, respectivamente, o máximo absoluto e o mínimo absoluto de na região .

Resposta

Seguindo esses passos, identificamos que os maiores e menores valores de na região são o máximo absoluto e o mínimo absoluto encontrados na análise dos pontos críticos internos e dos extremos na fronteira .

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