Determine as dimensões de um retângulo de perímetro de 1000 m , cuja área é a maior possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as dimensões de um retângulo que tem um perímetro de 1000 metros e que a sua área seja a maior possível. Isso envolve conceitos de geometria, especificamente sobre perímetro e área de retângulos, além de otimização para maximizar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas:
  • Perímetro de um retângulo é dado por: , onde é o comprimento e é a largura.
  • Área de um retângulo é: .

Passo 3

Sabemos que o perímetro é 1000 metros. Então, podemos escrever:
Simplificando:

Passo 4

Queremos maximizar a área . Mas temos a relação . Podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos isolar :

Passo 5

Substituindo na fórmula da área:

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza a área, podemos derivar a função da área em relação a e igualar a zero:

Passo 7

Agora que encontramos metros, podemos encontrar usando :
metros.

Resposta

As dimensões do retângulo que maximiza a área são metros de comprimento e metros de largura.

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