Determine as dimensões de um retângulo de perímetro de 1000 m , cuja área é a maior possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as dimensões de um retângulo que tem um perímetro de 1000 metros e que a sua área seja a maior possível. Isso envolve conceitos de geometria, especificamente sobre perímetro e área de retângulos, além de otimização para maximizar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas:
- Perímetro de um retângulo é dado por:
, onde é o comprimento e é a largura. - Área de um retângulo é:
.
Passo 3
Sabemos que o perímetro é 1000 metros. Então, podemos escrever:
Simplificando:
Passo 4
Queremos maximizar a área
. Mas temos a relação
. Podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos isolar
:
Passo 5
Substituindo
na fórmula da área:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, podemos derivar a função da área em relação a
e igualar a zero:
Passo 7
Agora que encontramos
metros, podemos encontrar
usando
:
Resposta
As dimensões do retângulo que maximiza a área são
metros de comprimento e
metros de largura.
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Calcule os limites:
Encontre os pontos críticos da função
e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.
( 5 pontos) Consideremos uma função
de duas variáveis. Agora, consideremos uma região
localizada inteiramente dentro do domínio de
. Se a região R for inteiramente delimitada por uma curva fechada C, podemos encontrarmos o maior e o menor valor atingidos por
olhando apenas para pontos da região R (incluindo pontos no interior da região e na curva C que delimita a região). Com base nos conhecimentos aprendidos em C 2 , explique o passo a passo que poderia ser realizado para encontrar tais valores.
Calcule os limites: