Determine as dimensões de um retângulo de perímetro de 1000 m , cuja área é a maior possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as dimensões de um retângulo que tem um perímetro de 1000 metros e que a sua área seja a maior possível. Isso envolve conceitos de geometria, especificamente sobre perímetro e área de retângulos, além de otimização para maximizar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas:
- Perímetro de um retângulo é dado por:
, onde é o comprimento e é a largura. - Área de um retângulo é:
.
Passo 3
Sabemos que o perímetro é 1000 metros. Então, podemos escrever:
Simplificando:
Passo 4
Queremos maximizar a área
. Mas temos a relação
. Podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos isolar
:
Passo 5
Substituindo
na fórmula da área:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, podemos derivar a função da área em relação a
e igualar a zero:
Passo 7
Agora que encontramos
metros, podemos encontrar
usando
:
Resposta
As dimensões do retângulo que maximiza a área são
metros de comprimento e
metros de largura.