Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=x^2+3 x yraizx^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o limite da função quando se aproxima de existe e encontrar seu valor. Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância até a origem e é o ângulo com o eixo . Isso ajuda a simplificar a expressão quando analisamos o comportamento da função perto da origem.

Passo 3

Substituindo f(r, theta) = (r cos(theta))^2 + 3(r cos(theta))(r sin(theta))raiz(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 e f(r, theta) = r^2 cos^2(theta) + 3r^2 cos(theta) sin(theta)raizr^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) na função f(r, theta) = r^2 cos^2(theta) + 3r^2 cos(theta) sin(theta)r pelas expressões em coordenadas polares, temos:
f(r, theta) = r (cos^2(theta) + 3 cos(theta) sin(theta))
Simplificando o numerador e o denominador:
Sabemos que , então:
Simplificando ainda mais:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando limr to 0 r (cos^2(theta) + 3 cos(theta) sin(theta)) . A expressão fica:
Como está multiplicando a expressão , e é uma função limitada (já que e estão sempre entre -1 e 1), quando se aproxima de 0, todo o produto tende a 0.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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(2,0) Calcule a integral definida integralpi6^5 pi6 x cos (x) d x.
2,0 Determine a área da região do primeiro quadrante, delimitada pelos gráficos das funçõoes f(x) = 12 / (x + 1) e g(x) = 7 - x e pelos eixos coordenados.
Calcule os limites:
lim (x, y) (0^+, 0^+) x-yraizx-raizy,
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que: lim (x, y) (1,3) 3 x-5 y+7=-5,