Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o limite da função
quando
se aproxima de
existe e encontrar seu valor. Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo com o eixo
. Isso ajuda a simplificar a expressão quando analisamos o comportamento da função perto da origem.
Passo 3
Substituindo
e
na função
pelas expressões em coordenadas polares, temos:
Simplificando o numerador e o denominador:
Sabemos que
, então:
Simplificando ainda mais:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite quando
. A expressão fica:
Como
está multiplicando a expressão
, e
é uma função limitada (já que
e
estão sempre entre -1 e 1), quando
se aproxima de 0, todo o produto tende a 0.
Resposta
O limite existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que:
,