Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo funções radicais. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões com raízes quadradas e entender o comportamento delas conforme
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que acontece com
e
quando
fica muito grande. Conforme
aumenta, a diferença entre
e
tende a diminuir, já que o “+5” se torna menos significativo comparado ao valor grande de
.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir a expressão original por
para eliminar as raízes no numerador:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar os termos no numerador usando a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, analisamos o denominador
. Conforme
tende ao infinito,
e
se comportam de forma semelhante a
. Portanto, podemos aproximar o denominador por:
Passo 6
Substituindo a aproximação no denominador, temos:
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito.
Passo 7
Quando
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Portanto,
vai se aproximar de zero, já que o denominador cresce sem limite enquanto o numerador permanece constante.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(b) Determine os números reais que nos permite escrever
(b) Determine os números reais
Prove que
(ou seja, utilize a definição formal de limite, com
e
).
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
que passa pelo ponto de abscissa
. Represente essa situação em um plano cartesiano.