Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo funções radicais. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões com raízes quadradas e entender o comportamento delas conforme cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece com e quando fica muito grande. Conforme aumenta, a diferença entre e tende a diminuir, já que o “+5” se torna menos significativo comparado ao valor grande de .

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir a expressão original por para eliminar as raízes no numerador:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os termos no numerador usando a identidade :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, analisamos o denominador . Conforme tende ao infinito, e se comportam de forma semelhante a . Portanto, podemos aproximar o denominador por:

Passo 6

Substituindo a aproximação no denominador, temos:
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando tende ao infinito.

Passo 7

Quando vai para o infinito, também vai para o infinito. Portanto, vai se aproximar de zero, já que o denominador cresce sem limite enquanto o numerador permanece constante.

Resposta

Exercícios relacionados

Considere a série para resolver os itens abaixo.
(b) Determine os números reais que nos permite escrever
Prove que (ou seja, utilize a definição formal de limite, com e ).
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de que passa pelo ponto de abscissa . Represente essa situação em um plano cartesiano.