Considere a série para resolver os itens abaixo.
(b) Determine os números reais que nos permite escrever

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta uma série matemática: . Nosso objetivo aqui é encontrar os números reais e que deixam a expressão igual a . Para resolver isso, vamos precisar manipular equações algébricas e entender um pouco sobre séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas expressões dadas:
Para facilitar a resolução, vamos colocar todas as partes sobre o mesmo denominador. Observando que pode ser reescrito como , já que .
Então, a equação fica:
Agora que temos os denominadores iguais, podemos igualar os numeradores:

Passo 3

Vamos reorganizar os termos para agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes das potências de nos dois lados da equação devem ser iguais:
  1. O coeficiente de no lado esquerdo é , e no lado direito é . Então:
  1. O termo constante no lado esquerdo é , e no lado direito é . Portanto:

Resposta

Os números reais são e .

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Prove que (ou seja, utilize a definição formal de limite, com e ).
Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.