Determine a equação da reta tangente ao gráfico de que passa pelo ponto de abscissa . Represente essa situação em um plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta quer. A gente precisa achar a equação da reta que tangencia o gráfico da função e que passa por um ponto específico onde a abscissa (valor de ) é 3. Para isso, vamos usar derivadas (que nos dão a inclinação da reta tangente) e as fórmulas das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto no gráfico da função quando . Basta substituir 3 na função:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada da função , que nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto .
A derivada de é:

Passo 4

Substituímos na derivada para achar a inclinação no ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é 6.

Passo 5

Com a inclinação e sabendo que a reta passa pelo ponto , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo e :

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma explícita :

Resposta

A equação da reta tangente é .

Gráfico

Para representar essa situação no plano cartesiano, você pode desenhar o gráfico da função , marcar o ponto e desenhar a reta que toca o gráfico exatamente nesse ponto.
Gráfico da função e da reta tangente (Substitua pelo link da imagem correspondente)

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Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Seja a sequência de somas parciais de . Se é convergente, então .
Se uma sequência infinita tal que . Mostre que .