Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
que passa pelo ponto de abscissa
. Represente essa situação em um plano cartesiano.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta quer. A gente precisa achar a equação da reta que tangencia o gráfico da função
e que passa por um ponto específico onde a abscissa (valor de
) é 3. Para isso, vamos usar derivadas (que nos dão a inclinação da reta tangente) e as fórmulas das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto no gráfico da função quando
. Basta substituir 3 na função:
Então, o ponto é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada da função
, que nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto
.
A derivada de
é:
Passo 4
Substituímos
na derivada para achar a inclinação no ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é 6.
Passo 5
Com a inclinação
e sabendo que a reta passa pelo ponto
, usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma explícita
:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
Gráfico
Para representar essa situação no plano cartesiano, você pode desenhar o gráfico da função
, marcar o ponto
e desenhar a reta
que toca o gráfico exatamente nesse ponto.
![Gráfico da função e da reta tangente](https://i.imgur.com/SeuLinkDeImagem.png)
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Seja a sequência de somas parciais de
. Se
é convergente, então
.
( ) Seja
Se
uma sequência infinita tal que
. Mostre que
.