Calcule os limites a seguir, caso existam. lim t 0 (2+t)^4-16t Resp: 32

Passo 1

Vamos resolver o limite limt 0 (2+t)^4-16t. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente utilizando a definição de derivada. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão (2+t)^4, simplificar o numerador e então calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (2+t)^4. Para isso, usamos o binômio de Newton, que nos ajuda a expandir potências de binômios. A fórmula geral é:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
Aplicando com a = 2, b = t e n = 4:
(2 + t)^4 = binom402^4 t^0 + binom412^3 t^1 + binom422^2 t^2 + binom432^1 t^3 + binom442^0 t^4
Calculando os coeficientes:
= 1 cdot 16 cdot 1 + 4 cdot 8 cdot t + 6 cdot 4 cdot t^2 + 4 cdot 2 cdot t^3 + 1 cdot 1 cdot t^4
= 16 + 32t + 24t^2 + 8t^3 + t^4

Passo 3

Agora, substituímos a expansão de (2+t)^4 na expressão original do limite:
(2+t)^4 - 16t = 16 + 32t + 24t^2 + 8t^3 + t^4 - 16t
Simplificando o numerador:
= 32t + 24t^2 + 8t^3 + t^4t

Passo 4

Podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por t:
= 32 + 24t + 8t^2 + t^3

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando t se aproxima de 0:
limt 0 (32 + 24t + 8t^2 + t^3) = 32 + 24 cdot 0 + 8 cdot 0^2 + 0^3 = 32

Resposta

O limite é igual a 32.

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