Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp: 32

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente utilizando a definição de derivada. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão , simplificar o numerador e então calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão . Para isso, usamos o binômio de Newton, que nos ajuda a expandir potências de binômios. A fórmula geral é:
Aplicando com , e :
Calculando os coeficientes:

Passo 3

Agora, substituímos a expansão de na expressão original do limite:
Simplificando o numerador:

Passo 4

Podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Seja , esboce o gráfico e calcule os limites:
Seja . Esboce o gráfico de e calcule:
Seja . Esboce o gráfico de e calcule:
Seja $f(x)=\left{\begin{array}{l}1 / x, x<0 \ x^{2}, 0 \leq x<1 \ 2,