Seja
. Esboce o gráfico de
e calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente desenhar o gráfico da função
que é definida por partes e, depois, calcular o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda. A matéria envolvida aqui são funções definidas por partes e conceitos de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida. Ela tem duas partes:
- Para valores de
menores ou iguais a 2, a função é . - Para valores de
maiores que 2, a função é .
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico dessa função. Para isso, precisamos desenhar as duas retas que a definem e ver onde elas se encontram ou mudam.
Passo 4
Para
, temos
. Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto no ponto
. Vamos desenhá-la até
.
Passo 5
Para
, temos
. Essa é outra reta, mas com inclinação 2 e intercepto em
. Vamos desenhar essa reta começando logo após
.
Passo 6
No ponto
, vamos verificar os valores das duas definições para garantir que o gráfico está correto:
- Usando
, temos . - Usando
, temos .
Como ambos dão o mesmo resultado, o gráfico é contínuo nesse ponto.
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite
. Isso significa que vamos olhar o valor que
se aproxima quando
chega perto de 2 pela esquerda, ou seja, valores menores que 2.
Passo 8
Como estamos vindo pela esquerda de 2, usamos a definição de
para
, que é
. Então, substituímos
por 2 nessa expressão:
.