Seja . Esboce o gráfico de e calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente desenhar o gráfico da função que é definida por partes e, depois, calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda. A matéria envolvida aqui são funções definidas por partes e conceitos de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida. Ela tem duas partes:
  • Para valores de menores ou iguais a 2, a função é .
  • Para valores de maiores que 2, a função é .

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico dessa função. Para isso, precisamos desenhar as duas retas que a definem e ver onde elas se encontram ou mudam.

Passo 4

Para , temos . Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto no ponto . Vamos desenhá-la até .

Passo 5

Para , temos . Essa é outra reta, mas com inclinação 2 e intercepto em . Vamos desenhar essa reta começando logo após .

Passo 6

No ponto , vamos verificar os valores das duas definições para garantir que o gráfico está correto:
  • Usando , temos .
  • Usando , temos .
    Como ambos dão o mesmo resultado, o gráfico é contínuo nesse ponto.

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite . Isso significa que vamos olhar o valor que se aproxima quando chega perto de 2 pela esquerda, ou seja, valores menores que 2.

Passo 8

Como estamos vindo pela esquerda de 2, usamos a definição de para , que é . Então, substituímos por 2 nessa expressão:
.

Resposta

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Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp: 32
Seja , esboce o gráfico e calcule os limites:
Seja $f(x)=\left{\begin{array}{l}1 / x, x<0 \ x^{2}, 0 \leq x<1 \ 2,
Seja , esboce o gráfico e calcule os limites: