Calcule os limites a seguir, justificando.
lim x 2 ln (x^2-2 x+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 2 da função . Isso envolve entender limites e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar manipular a expressão dentro do logaritmo para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro do logaritmo. A expressão x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 pode ser fatorada. Sabemos que:
ln(x^2 - 2x + 1) = ln( (x - 1)^2 )
Isso porque . Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função dentro do logaritmo quando limx to 2 (x - 1)^2 = (2 - 1)^2 = 1 se aproxima de 2:
Portanto, a expressão dentro do logaritmo está tendendo para 1.

Passo 4

Finalmente, aplicamos o logaritmo no resultado obtido:
ln(1) = 0
Sabemos que o logaritmo natural de 1 é sempre 0 porque .

Resposta

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