0 valor médio de uma função
sobre uma região sólida
é definido como
onde
é o volume de
. Determine o valor médio da função
sobre o tetraedro com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio da função
sobre um tetraedro específico. Para isso, vamos usar a fórmula do valor médio de uma função em uma região sólida, que envolve calcular uma integral tripla e o volume do tetraedro. Vamos precisar entender como calcular integrais múltiplas e o volume de sólidos tridimensionais, especificamente de um tetraedro.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um tetraedro. Um tetraedro é um sólido com quatro faces triangulares. No nosso caso, os vértices são
,
,
e
. Esse é um tetraedro regular, já que todas as arestas têm o mesmo comprimento.
Passo 3
Vamos calcular o volume
do tetraedro. A fórmula para o volume de um tetraedro com vértices na origem e em
,
,
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral tripla
, onde
. Para isso, precisamos definir os limites de integração para o nosso tetraedro.
Como o tetraedro está limitado pelos planos
,
,
e
, podemos expressar os limites de integração da seguinte forma:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 a . - Para cada
e , varia de 0 a .
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em
, depois em
, e por último em
.
Primeiro, integraremos
em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
. Isso pode ficar um pouco complicado, mas vamos por partes. Após simplificar a expressão anterior, a integração em
será um polinômio quadrático que podemos integrar termo a termo.
Finalmente, após integrar em
e depois em
, obteremos o valor da integral tripla.
Passo 7
Após resolver todas as integrais, o valor da integral tripla
será:
Resposta
O valor médio da função
sobre o tetraedro é
.