0 valor médio de uma função f(x, y, z) sobre uma região sólida E é definido como
f médio =1V(E) integral triplaE f(x, y, z) d V é
onde V(E) é o volume de E. Determine o valor médio da função
f(x, y, z)=x+y+z
sobre o tetraedro com vértices (0 ; 0 ; 0) ;(1 ; 0 ; 0) ;(0 ; 1 ; 0) e (0 ; 0 ; 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio da função sobre um tetraedro específico. Para isso, vamos usar a fórmula do valor médio de uma função em uma região sólida, que envolve calcular uma integral tripla e o volume do tetraedro. Vamos precisar entender como calcular integrais múltiplas e o volume de sólidos tridimensionais, especificamente de um tetraedro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um tetraedro. Um tetraedro é um sólido com quatro faces triangulares. No nosso caso, os vértices são , , e . Esse é um tetraedro regular, já que todas as arestas têm o mesmo comprimento.

Passo 3

Vamos calcular o volume V = 16 times a times b times c do tetraedro. A fórmula para o volume de um tetraedro com vértices na origem e em V = 16 times 1 times 1 times 1 = 16 , , é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral tripla integral triplaE (x + y + z) , dz , dy , dx = integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y (x + y + z) , dz , dy , dx , onde . Para isso, precisamos definir os limites de integração para o nosso tetraedro.
Como o tetraedro está limitado pelos planos , , e , podemos expressar os limites de integração da seguinte forma:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a .
  • Para cada e , varia de 0 a .
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em integral0^1 - x - y (x + y + z) , dz = [ (x + y)z + 12z^2 ]0^1 - x - y = (x + y)(1 - x - y) + 12(1 - x - y)^2 , depois em = (x + y)(1 - x - y) + 12(1 - x - y)^2 = (x + y + 12(1 - x - y))(1 - x - y) , e por último em .
Primeiro, integraremos em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a . Isso pode ficar um pouco complicado, mas vamos por partes. Após simplificar a expressão anterior, a integração em será um polinômio quadrático que podemos integrar termo a termo.
Finalmente, após integrar em e depois em , obteremos o valor da integral tripla.

Passo 7

Após resolver todas as integrais, o valor da integral tripla integral triplaE (x + y + z) , dV = 12 será:

Resposta

O valor médio da função sobre o tetraedro é .

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