Calcular as integrais :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos trabalhando com uma integral de uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. O grau do numerador é 3 e o do denominador também é 3. Quando os graus são iguais, fazemos a divisão polinomial.
Passo 3
Dividindo
por
, começamos pelo termo de maior grau.
. Multiplicamos o denominador por 1 e subtraímos do numerador:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração
. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, temos:
Passo 5
Vamos expressar a fração como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 6
Para encontrar A, B e C, escolhemos valores de x que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
Passo 7
Agora, substituímos os valores encontrados de A, B e C na expressão das frações parciais:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Juntando todas as integrais, temos:
onde C é a constante de integração.
Resposta
A integral resulta em:
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir, justificando.
Calcular as integrais :
Calcule os limites a seguir, justificando.