Calcular as integrais : integral x^3+2 x^2-3 x+1x^3+3 x^2+2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com uma integral de uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. O grau do numerador é 3 e o do denominador também é 3. Quando os graus são iguais, fazemos a divisão polinomial.

Passo 3

Dividindo (x^3+2 x^2-3 x+1) - (x^3+3 x^2+2 x) = -x^2-5x+1 por x^3+2 x^2-3 x+1x^3+3 x^2+2 x = 1 + -x^2-5x+1x^3+3 x^2+2 x , começamos pelo termo de maior grau. . Multiplicamos o denominador por 1 e subtraímos do numerador:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração x^3+3 x^2+2 x = x(x^2+3x+2) = x(x+1)(x+2) . Primeiro, fatoramos o denominador:
-x^2-5x+1x(x+1)(x+2)
Então, temos:

Passo 5

Vamos expressar a fração como soma de frações parciais:
-x^2-5x+1x(x+1)(x+2) = Ax + Bx+1 + Cx+2
Multiplicando ambos os lados por -x^2-5x+1 = A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1) , obtemos:

Passo 6

Para encontrar A, B e C, escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  • Se 0 - 0 + 1 = A(1)(2) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12 :
-1 -(-5) + 1 = B(-1)(1) Rightarrow 5 = -B Rightarrow B = -5
  • Se -4 -(-10) + 1 = C(-2)(-1) Rightarrow 7 = 2C Rightarrow C = 72 :
  • Se :

Passo 7

Agora, substituímos os valores encontrados de A, B e C na expressão das frações parciais:
-x^2-5x+1x(x+1)(x+2) = 1/2x + -5x+1 + 7/2x+2
Então, a integral fica:
integral x^3+2 x^2-3 x+1x^3+3 x^2+2 x ,dx = integral (1 + 1/2x - 5x+1 + 7/2x+2) dx

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1 ,dx = x
integral 1/2x ,dx = 12 ln|x|
integral -5x+1 ,dx = -5 ln|x+1|
integral 7/2x+2 ,dx = 72 ln|x+2|

Passo 9

Juntando todas as integrais, temos:
x + 12 ln|x| - 5 ln|x+1| + 72 ln|x+2| + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral resulta em:
x + 12 ln|x| - 5 ln|x+1| + 72 ln|x+2| + C

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