Calcular as integrais :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com uma integral de uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. O grau do numerador é 3 e o do denominador também é 3. Quando os graus são iguais, fazemos a divisão polinomial.

Passo 3

Dividindo por , começamos pelo termo de maior grau. . Multiplicamos o denominador por 1 e subtraímos do numerador:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração . Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, temos:

Passo 5

Vamos expressar a fração como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 6

Para encontrar A, B e C, escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
  • Se :

Passo 7

Agora, substituímos os valores encontrados de A, B e C na expressão das frações parciais:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Juntando todas as integrais, temos:
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral resulta em:

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Calcule os limites a seguir, justificando.
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