Calcule os limites a seguir, justificando.
lim x -1 2^(x^2-1) /(2 x+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos:
lim x -1 2^x^2-12x+2
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo potências. Vamos precisar lembrar como simplificar expressões algébricas e entender o comportamento das funções exponenciais quando a base é fixa e o expoente se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no expoente:
x^2 - 12x + 2
Perceba que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar:
(x - 1)(x + 1)2x + 2
Então, temos:
2x + 2 = 2(x + 1)
Agora, vamos fatorar o denominador:
(x - 1)(x + 1)2(x + 1)
Substituindo de volta na fração:
x - 12
Notamos que aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar, desde que (o que está ok porque estamos falando de um limite):

Passo 3

Agora, a expressão do limite ficou mais simples:
lim x -1 2^x - 12
Vamos substituir -1 - 12 = -22 = -1 por 2^-1 na expressão do expoente:
Então, o limite fica:

Resposta

12

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