Calcule os limites a seguir:
(f) onde, ;

Passo 1

Vamos analisar o limite . Aqui estamos trabalhando com limites de funções que envolvem o seno e reciprocidade. Para resolver isso, precisamos entender como se comporta a função seno quando seu argumento tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de 0, se aproxima de ou , dependendo do lado de onde está vindo. Assim, a expressão está calculando o seno de um número que está aumentando sem limites.

Passo 3

Sabemos que a função seno, , é periódica e oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Isso significa que, mesmo quando tende ao infinito, o seno nunca se estabiliza em um único valor, mas continua a alternar entre esses valores.

Passo 4

Como oscila entre -1 e 1 quando se aproxima de 0, o denominador da nossa função está tomando valores que variam continuamente entre -1 e 1. Isso faz com que a fração como um todo oscile sem parar.

Passo 5

Além disso, quando se aproxima de 0, a expressão tende a valores muito grandes, positivos ou negativos, dependendo do sinal de . Como não há uma tendência para um valor específico, o limite não se estabelece.

Resposta

O limite não existe, pois a expressão oscila indefinidamente entre valores positivos e negativos muito grandes.

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(d) ;
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