Calcule os limites a seguir:
(f)
onde,
;
(f)
Passo 1
Vamos analisar o limite
. Aqui estamos trabalhando com limites de funções que envolvem o seno e reciprocidade. Para resolver isso, precisamos entender como se comporta a função seno quando seu argumento tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
ou
, dependendo do lado de onde
está vindo. Assim, a expressão
está calculando o seno de um número que está aumentando sem limites.
Passo 3
Sabemos que a função seno,
, é periódica e oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que, mesmo quando
tende ao infinito, o seno nunca se estabiliza em um único valor, mas continua a alternar entre esses valores.
Passo 4
Como
oscila entre -1 e 1 quando
se aproxima de 0, o denominador da nossa função
está tomando valores que variam continuamente entre -1 e 1. Isso faz com que a fração como um todo oscile sem parar.
Passo 5
Além disso, quando
se aproxima de 0, a expressão
tende a valores muito grandes, positivos ou negativos, dependendo do sinal de
. Como não há uma tendência para um valor específico, o limite não se estabelece.
Resposta
O limite
não existe, pois a expressão oscila indefinidamente entre valores positivos e negativos muito grandes.
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(d) ;
(d)
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