Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Isso significa que a equação envolve a função desconhecida e sua primeira derivada . Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar reorganizar a equação para facilitar a aplicação desse método.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem. A forma padrão é:
Então, vamos dividir toda a equação original por para isolar :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Fazendo a substituição , temos . Assim, a integral fica:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que a equação se transformou em:
Isso porque:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para e o lado direito para uma constante :

Passo 6

Isolando :
Podemos escrever a constante simplesmente como , então:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária, válida para todo .

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Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
Calcule os limites a seguir:
(f) onde, ;
Calcule os limites a seguir
(d) ;