Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Isso significa que a equação envolve a função desconhecida
e sua primeira derivada
. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar reorganizar a equação para facilitar a aplicação desse método.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem. A forma padrão é:
Então, vamos dividir toda a equação original por
para isolar
:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Fazendo a substituição
, temos
. Assim, a integral fica:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que a equação se transformou em:
Isso porque:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
e o lado direito para uma constante
:
Passo 6
Isolando
:
Podemos escrever a constante
simplesmente como
, então:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária, válida para todo
.
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Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
Calcule os limites a seguir:
(f) onde,
;
(f)
Calcule os limites a seguir
(d) ;
(d)