Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
t^3 y' + 4 t^2 y = e^(-t), y(-1) = 0, t < 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A gente vai precisar usar o método do fator integrante para resolver. O enunciado nos dá a equação com a condição inicial e estamos trabalhando para .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é . Para isso, dividimos toda a equação por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Como , podemos simplificar para .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

A equação fica assim:
Integrando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Vamos resolver a integral usando integração por partes, onde:
Então:

Passo 7

Voltando à equação:
Agora, isolamos :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :

Passo 9

Então, a solução da equação diferencial é:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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