Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A gente vai precisar usar o método do fator integrante para resolver. O enunciado nos dá a equação
com a condição inicial
e estamos trabalhando para
.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é
. Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Como
, podemos simplificar para
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A equação fica assim:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando integração por partes, onde:
Então:
Passo 7
Voltando à equação:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 9
Então, a solução da equação diferencial é:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir
(d) ;
(d)
Calcule os limites a seguir:
(f) onde,
;
(f)
Determine uma fórmula para
nas funções
e
indicadas.
(b) e
;
(b)
Uma nova vacina foi desenvolvida para combater uma epidemia de uma doença infecciosa. A eficácia da vacina,
, em porcentagem, após
dias de vacinação, é modelada pela função:
Essa função representa como a eficácia da vacina aumenta ao longo do tempo após a vacinação.