Calcule a maior taxa de variação da função
no ponto
. Em qual direção ela ocorre?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a maior taxa de variação da função
no ponto (2,1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função. O gradiente vai nos mostrar não só qual é a maior taxa de variação, mas também a direção em que ela ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Esse vetor aponta na direção de maior aumento da função, e o seu comprimento (magnitude) representa a taxa máxima de variação.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeira, a derivada parcial em relação a
:
Segunda, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (2,1).
Para
em (2,1):
Para
em (2,1):
Passo 5
Assim, o gradiente da função no ponto (2,1) é:
Passo 6
A magnitude do gradiente, que representa a maior taxa de variação, é calculada pela fórmula:
Passo 7
A direção em que ocorre essa maior taxa de variação é dada pela direção do vetor gradiente. Podemos expressar isso como um vetor unitário dividindo o gradiente pela sua magnitude:
Resposta
A maior taxa de variação da função no ponto (2,1) é aproximadamente 6,40 e ocorre na direção do vetor
.
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, em que
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?
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tal que
seja máximo. (nota: não precisa resolver, basta encontrar as equações.)
Seja
, onde
é diferenciável. Mostre que