Encontre as equações dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o ponto da superfície
tal que
seja máximo. (nota: não precisa resolver, basta encontrar as equações.)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma superfície definida pela equação:
E queremos encontrar o ponto nessa superfície onde o valor de
é máximo. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos maximizar e a restrição. Aqui, queremos maximizar:
E a restrição é:
Passo 3
O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que, para encontrar os pontos de máximo, devemos considerar a seguinte equação:
Onde
é o multiplicador de Lagrange, e
representa o gradiente das funções.
Passo 4
Vamos calcular os gradientes de
e
:
Passo 5
Igualando os gradientes segundo a equação de Lagrange, temos:
Passo 6
Além das equações acima, não podemos esquecer da restrição original:
Resposta
As equações dos multiplicadores de Lagrange são:
Exercícios relacionados
Calcule a maior taxa de variação da função
no ponto
. Em qual direção ela ocorre?
A lei de um gás ideal confinado é
, em que
é a pressão,
é o volume,
é a temperatura e
constante. 0 g está sendo aquecido à razão de
e a pressão aumenta à razão de
. Se em certo instante, temperatura é de 11 graus e a pressão é de
, qual é a taxa de variação instantânea do volume para
?
Seja
, onde
é diferenciável. Mostre que
Mostre que
não existe.