Seja
, onde
é diferenciável. Mostre que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
, onde
é uma função diferenciável. A tarefa é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e depois substituir esses resultados na expressão que queremos provar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
, então a derivada de
em relação a
é zero. Portanto:
Onde
representa a derivada de
em relação ao seu argumento.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, a derivada de
em relação a
é 1, e aplicamos a regra da cadeia para o termo envolvendo
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos substituí-las na expressão que queremos provar:
Simplificando os termos:
Os termos com
se cancelam, restando apenas
.
Resposta
Depois de calcular e simplificar, mostramos que
.
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no ponto
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.