A lei de um gás ideal confinado é P V = k T, em que P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura e k > 0 constante. 0 g está sendo aquecido à razão de 4 graus/min e a pressão aumenta à razão de 0,7 kg/min. Se em certo instante, temperatura é de 11 graus e a pressão é de 9 kg/cm^2, qual é a taxa de variação instantânea do volume para k=10?

Passo 1

Beleza, temos um exercício da Lei dos Gases Ideais, que é . Aqui, é a pressão, é o volume, é a temperatura e é uma constante positiva. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação do volume ( ) quando a temperatura e a pressão estão mudando com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação da Lei dos Gases Ideais em relação ao tempo ( ). Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Usando a regra do produto para derivadas no lado esquerdo, temos:
Aqui, é a taxa de variação do volume que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos isolar na equação. Para isso, subtraímos de ambos os lados e depois dividimos por :

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de e . Da equação original , isolamos :

Passo 6

Substituímos na equação da taxa de variação:
Simplificando:

Passo 7

Agora, é hora de substituir os valores fornecidos no problema:
Substituindo na equação:

Passo 8

Vamos calcular cada parte:
Subtraindo:

Resposta

A taxa de variação instantânea do volume é aproximadamente .

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