Calcule a massa da chapa plana limitada pela curva e as retas e , sabendo que a densidade num ponto qualquer da chapa é proporcional ao quadrado da sua distância ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui! Temos que calcular a massa de uma chapa plana que está limitada pela curva e pelas retas , e . A parada é que a densidade em cada ponto dessa chapa não é sempre a mesma; ela varia e é proporcional ao quadrado da distância desse ponto até o eixo . Ou seja, precisamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, pra encontrar essa massa total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a densidade varia na chapa. A distância de qualquer ponto até o eixo é simplesmente . Como a densidade é proporcional ao quadrado dessa distância, podemos escrever a densidade como:
onde é a constante de proporcionalidade. Para simplificar, podemos considerar , já que a constante vai se cancelar no cálculo da massa total.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para calcular a massa. A massa de uma chapa com densidade variável é dada por:
onde é a região delimitada na chapa. Vamos identificar essa região:
A curva pode ser reescrita como .
As retas verticais são e .
A reta horizontal é .
Então, para variando de 1 a 4, varia de 0 até .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para a massa:
Vamos primeiro integrar em relação a , mantendo fixo.
Passo 5
Calculando a integral interna (em ):
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa (em ):