Calcule a massa da chapa plana limitada pela curva x y = 4 e as retas y=0, x=1 e x = 4, sabendo que a densidade num ponto qualquer da chapa é proporcional ao quadrado da sua distância ao eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui! Temos que calcular a massa de uma chapa plana que está limitada pela curva e pelas retas , e . A parada é que a densidade em cada ponto dessa chapa não é sempre a mesma; ela varia e é proporcional ao quadrado da distância desse ponto até o eixo . Ou seja, precisamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, pra encontrar essa massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a densidade varia na chapa. A distância de qualquer ponto até o eixo é simplesmente . Como a densidade é proporcional ao quadrado dessa distância, podemos escrever a densidade como:
onde é a constante de proporcionalidade. Para simplificar, podemos considerar , já que a constante vai se cancelar no cálculo da massa total.

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para calcular a massa. A massa de uma chapa com densidade variável é dada por:
onde é a região delimitada na chapa. Vamos identificar essa região:
  • A curva pode ser reescrita como .
  • As retas verticais são e .
  • A reta horizontal é .
Então, para variando de 1 a 4, varia de 0 até .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para a massa:
Vamos primeiro integrar em relação a , mantendo fixo.

Passo 5

Calculando a integral interna (em ):

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa (em ):

Passo 7

Vamos calcular essa última integral:

Resposta

A massa da chapa é igual a 30 unidades de massa.

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