A base de um aquário com volume é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material. ( 2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um aquário com volume de . A base é feita de ardósia e os lados de vidro. Sabemos que a ardósia custa cinco vezes mais que o vidro por unidade de área. Nosso objetivo é encontrar as dimensões do aquário que vão fazer o custo do material ser o menor possível. Vamos precisar usar conceitos de otimização e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões do aquário. Vamos chamar:
= comprimento da base
= largura da base
= altura do aquário
Como o volume é , temos:
Isso significa que:
Assim, podemos expressar a altura em função de e .
Passo 3
Agora, vamos calcular a área dos materiais usados. A base é de ardósia, então a área da base é:
Os lados são de vidro. Temos duas áreas de frente e fundo, e duas laterais:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos definir o custo total . Sabemos que a ardósia custa cinco vezes o vidro. Se o preço do vidro é , então o preço da ardósia é . O custo total é:
Podemos fatorar :
Como é um fator comum, para minimizar o custo, vamos minimizar a expressão dentro do parêntese:
Passo 5
Para encontrar o mínimo de , vamos derivar em relação a e e igualar a zero. Vamos supor que para simplificar (o que geralmente ocorre em otimizações simétricas).
Então, , e .
Substituindo na expressão de :
Passo 6
Agora, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo:
Como , então .
Passo 7
Agora, encontramos a altura :
Resposta
As dimensões do aquário que minimizam o custo do material são aproximadamente: