A base de um aquário com volume 1000 m³ é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material. ( 2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um aquário com volume de . A base é feita de ardósia e os lados de vidro. Sabemos que a ardósia custa cinco vezes mais que o vidro por unidade de área. Nosso objetivo é encontrar as dimensões do aquário que vão fazer o custo do material ser o menor possível. Vamos precisar usar conceitos de otimização e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões do aquário. Vamos chamar:
  • = comprimento da base
  • = largura da base
  • = altura do aquário
Como o volume é , temos:
Isso significa que:
Assim, podemos expressar a altura em função de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área dos materiais usados. A base é de ardósia, então a área da base é:
Os lados são de vidro. Temos duas áreas de frente e fundo, e duas laterais:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Simplificando:

Passo 4

Vamos definir o custo total . Sabemos que a ardósia custa cinco vezes o vidro. Se o preço do vidro é , então o preço da ardósia é . O custo total é:
Podemos fatorar :
Como é um fator comum, para minimizar o custo, vamos minimizar a expressão dentro do parêntese:

Passo 5

Para encontrar o mínimo de , vamos derivar em relação a e e igualar a zero. Vamos supor que para simplificar (o que geralmente ocorre em otimizações simétricas).
Então, , e .
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo:
Como , então .

Passo 7

Agora, encontramos a altura :

Resposta

As dimensões do aquário que minimizam o custo do material são aproximadamente:
  • Comprimento
  • Largura
  • Altura

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