Calcule onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace de uma função que é definida de duas formas diferentes: quando e quando . Para isso, vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace, que envolve integrar a função multiplicada por ao longo do tempo. Vamos precisar dividir a integral em duas partes correspondentes às duas definições de .

Passo 2

Primeiro, lembremos que a transformada de Laplace de uma função é dada por:
Como tem duas definições diferentes, precisamos dividir a integral em dois intervalos: de 0 a 1 e de 1 até o infinito. Então, temos:

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos e . Então, temos:
Aplicando a integração por partes:
Substituindo:
Calculando os limites:
E a segunda integral fica:
Portanto, a primeira integral completa é:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: . Essa é uma integral básica:
Como , tende a zero. Então, fica:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas integrais que calculamos:
Perceba que e se cancelam:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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satisfaz a equação .
6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.