Calcule
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace de uma função
que é definida de duas formas diferentes:
quando
e
quando
. Para isso, vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace, que envolve integrar a função multiplicada por
ao longo do tempo. Vamos precisar dividir a integral em duas partes correspondentes às duas definições de
.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Como
tem duas definições diferentes, precisamos dividir a integral em dois intervalos: de 0 a 1 e de 1 até o infinito. Então, temos:
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
. Então, temos:
Aplicando a integração por partes:
Substituindo:
Calculando os limites:
E a segunda integral fica:
Portanto, a primeira integral completa é:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral:
. Essa é uma integral básica:
Como
,
tende a zero. Então, fica:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas integrais que calculamos:
Perceba que
e
se cancelam:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
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Calcule
onde
Calcule
onde
satisfaz a equação
.
6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.