6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos resolver. Temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. A função
é definida de forma descontínua:
Para resolver esse problema, vamos precisar aplicar técnicas de equações diferenciais com funções descontínuas, utilizando a transformada de Laplace e a função de Heaviside para lidar com a descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando a função de Heaviside
, que facilita lidar com funções descontínuas:
Aqui,
é a função de Heaviside que “liga” a descontinuidade em
. Isso significa que:
- Para
, e - Para
, e
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Sabemos que:
onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação:
Simplificando:
Isolando
:
Passo 5
Vamos separar
:
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter
.
Passo 6
Conhecendo as transformadas inversas necessárias:
Passo 7
Aplicando as transformadas inversas:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
satisfaz a equação
.
Calcule
onde
Calcule
onde
sent
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
22.
22.