6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos resolver. Temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . A função é definida de forma descontínua:
Para resolver esse problema, vamos precisar aplicar técnicas de equações diferenciais com funções descontínuas, utilizando a transformada de Laplace e a função de Heaviside para lidar com a descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a função de Heaviside , que facilita lidar com funções descontínuas:
Aqui, é a função de Heaviside que “liga” a descontinuidade em . Isso significa que:
  • Para , e
  • Para , e

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Sabemos que:
onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação:
Simplificando:
Isolando :

Passo 5

Vamos separar :
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter .

Passo 6

Conhecendo as transformadas inversas necessárias:

Passo 7

Aplicando as transformadas inversas:
Simplificando:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

satisfaz a equação .
Calcule onde
Calcule onde sent
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
22.