6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.
y^prime prime+y=f(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1 ; f(t)= 1, & 0 <= t<3 pi 0, & 3 pi <= t

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos resolver. Temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
y'' + y = f(t)
com as condições iniciais f(t) = 1, & 0 <= t < 3pi 0, & 3pi <= t < infty e . A função é definida de forma descontínua:
Para resolver esse problema, vamos precisar aplicar técnicas de equações diferenciais com funções descontínuas, utilizando a transformada de Laplace e a função de Heaviside para lidar com a descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(t) = 1 - u(t - 3pi) usando a função de Heaviside , que facilita lidar com funções descontínuas:
Aqui, é a função de Heaviside que “liga” a descontinuidade em . Isso significa que:
  • Para , e
  • Para , e

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Ly'' + Ly = Lf(t)
Sabemos que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) Ly = Y(s) Lf(t) = 1s - e^-3pi ss
onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação:
s^2 Y(s) - s cdot 0 - 1 + Y(s) = 1 - e^-3pi ss
Simplificando:
(s^2 + 1) Y(s) - 1 = 1 - e^-3pi ss
Isolando Y(s) = 1s^2 + 1 (1 + 1 - e^-3pi ss) :

Passo 5

Vamos separar Y(s) = 1s^2 + 1 + 1 - e^-3pi ss(s^2 + 1) :
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para obter .

Passo 6

Conhecendo as transformadas inversas necessárias:
L^-11s^2 + 1 = sin(t) L^-11s(s^2 + 1) = 1 - cos(t) L^-1e^-3pi ss(s^2 + 1) = (1 - cos(t - 3pi)) cdot u(t - 3pi)

Passo 7

Aplicando as transformadas inversas:
y(t) = sin(t) + [1 - cos(t)] - [1 - cos(t - 3pi)] cdot u(t - 3pi)
Simplificando:
y(t) = sin(t) + 1 - cos(t) - [1 - cos(t - 3pi)] cdot u(t - 3pi)

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = sin(t) + 1 - cos(t) - [1 - cos(t - 3pi)] u(t - 3pi)

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