satisfaz a equação .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisamos verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial .
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e , e depois substituir na equação para ver se ela se torna igual a zero. Vamos usar conhecimentos de derivadas parciais e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é .
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada de em relação a , que é .
Lembrando que :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada mista , que é a derivada de em relação a .
De :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que é .
De :
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos todas as derivadas, vamos substituir na equação dada:
Substituindo:
Vamos expandir e simplificar:
Observando que termos como se cancelam, , , e . Portanto, tudo soma a zero:

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial .

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6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.
Calcule onde sent