satisfaz a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e precisamos verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial
.
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
, e depois substituir na equação para ver se ela se torna igual a zero. Vamos usar conhecimentos de derivadas parciais e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
.
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada de
em relação a
, que é
.
Lembrando que
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
.
De
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
.
De
:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos todas as derivadas, vamos substituir na equação dada:
Substituindo:
Vamos expandir e simplificar:
Observando que termos como
se cancelam,
,
, e
. Portanto, tudo soma a zero:
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
.
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Calcule
onde
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onde
6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.
Em cada um dos problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.
1.
Calcule
onde
sent