Calcule a média aritmética, mediana, moda, primeiro quartil, terceiro quartil, décimo percentil e vigésimo percentil das distribuições abaixo:
b.
ESTATURAS <br> (cm) fi
150 vdash 158 5
158+166 12
166+174 18
174 vdash 182 27
182 vdash 190 8
Sigma=70

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular várias medidas de tendência central e de posição (como média, mediana, moda, quartis e percentis) de uma distribuição de estaturas. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente, análise de tabelas de frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos dessas medidas e aplicar fórmulas apropriadas, usando os dados fornecidos na tabela de frequências.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o marco de classe (também conhecido como ponto médio) para cada intervalo de estatura. O marco de classe é a média dos limites inferior e superior de cada classe. Isso vai nos ajudar a calcular a média aritmética.
Vamos calcular os marcos de classe:
  1. Intervalo 150–158 cm: Marco de classe = 150 + 1582 = 154 , cm
  2. Intervalo 158–166 cm: Marco de classe = 158 + 1662 = 162 , cm
  3. Intervalo 166–174 cm: Marco de classe = 166 + 1742 = 170 , cm
  4. Intervalo 174–182 cm: Marco de classe = 174 + 1822 = 178 , cm
  5. Intervalo 182–190 cm: Marco de classe = 182 + 1902 = 186 , cm

Passo 3

Agora, vamos calcular a média aritmética. A média é a soma dos produtos dos marcos de classe pelas suas respectivas frequências, dividida pela soma das frequências.
A fórmula é:
Média = sum (fi times xi)sum fi é
Vamos calcular cada produto $ f_i \times x_i $:
  1. $ 5 \times 154 = 770 $
  2. $ 12 \times 162 = 1944 $
  3. $ 18 \times 170 = 3060 $
  4. $ 27 \times 178 = 4806 $
  5. $ 8 \times 186 = 1488 $
Somando esses valores:
fi times xi
E a soma das frequências é 70.
Então, a média é:
5 times 154 = 770 é

Passo 4

Vamos encontrar a mediana. A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, ou seja, a classe onde está o valor que ocupa a posição $ \frac{N}{2} $, onde $ N $ é o total de observações. Aqui, $ N = 70 $, então $ \frac{70}{2} = 35 $.
Primeiro, precisamos construir a tabela de frequências acumuladas:
  1. 150–158 cm: 5 (acumulado: 5)
  2. 158–166 cm: 12 (acumulado: 17)
  3. 166–174 cm: 18 (acumulado: 35)
  4. 174–182 cm: 27 (acumulado: 62)
  5. 182–190 cm: 8 (acumulado: 70)
A posição 35 está na terceira classe (166–174 cm), que tem frequência acumulada até 35.
Agora, aplicamos a fórmula da mediana:
N2
Onde:
  • $ L $ = limite inferior da classe mediana = 166 cm
  • $ F $ = frequência acumulada antes da classe mediana = 17
  • $ f $ = frequência da classe mediana = 18
  • $ c $ = amplitude da classe = 8 cm (174 - 166)
Substituindo:
N

Passo 5

Vamos encontrar a moda. A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Observando a tabela, a classe com maior frequência é 174–182 cm, com 27 observações.
Para calcular a moda, usamos a fórmula:
Moda = L + ( f1 - f02f1 - f0 - f2 ) times c
Onde:
  • $ L $ = limite inferior da classe modal = 174 cm
  • $ f_1 $ = frequência da classe modal = 27
  • $ f_0 $ = frequência da classe anterior = 18
  • $ f_2 $ = frequência da classe seguinte = 8
  • $ c $ = amplitude da classe = 8 cm
Substituindo:
L

Passo 6

Vamos calcular o primeiro quartil (Q1), que é o valor abaixo do qual 25% dos dados estão. A posição de Q1 é:
Q1 = N4 = 704 = 17,5
Consultando a tabela de frequências acumuladas:
  • A posição 17,5 está na terceira classe (166–174 cm).
Aplicando a fórmula do quartil:
Q1 = L + ( N4 - Ff ) times c
Onde:
  • $ L $ = limite inferior da classe do Q1 = 166 cm
  • $ F $ = frequência acumulada antes da classe do Q1 = 17
  • $ f $ = frequência da classe do Q1 = 18
  • $ c $ = amplitude da classe = 8 cm
Substituindo:
L

Passo 7

Agora, vamos calcular o terceiro quartil (Q3), que é o valor abaixo do qual 75% dos dados estão. A posição de Q3 é:
Q3 = 3N4 = 3 times 704 = 52,5
Consultando a tabela de frequências acumuladas:
  • A posição 52,5 está na quarta classe (174–182 cm).
Aplicando a fórmula do quartil:
Q3 = L + ( 3N4 - Ff ) times c
Onde:
  • $ L $ = limite inferior da classe do Q3 = 174 cm
  • $ F $ = frequência acumulada antes da classe do Q3 = 35
  • $ f $ = frequência da classe do Q3 = 27
  • $ c $ = amplitude da classe = 8 cm
Substituindo:
L

Passo 8

Vamos calcular o décimo percentil (P10), que é o valor abaixo do qual 10% dos dados estão. A posição de P10 é:
P10 = 10N100 = 10 times 70100 = 7
Consultando a tabela de frequências acumuladas:
  • A posição 7 está na primeira classe (150–158 cm).
Aplicando a fórmula do percentil:
P10 = L + ( P - Ff ) times c
Onde:
  • $ L $ = limite inferior da classe do P10 = 150 cm
  • $ P $ = posição do percentil = 7
  • $ F $ = frequência acumulada antes da classe do P10 = 0
  • $ f $ = frequência da classe do P10 = 5
  • $ c $ = amplitude da classe = 8 cm
Substituindo:
L

Passo 9

Por fim, vamos calcular o vigésimo percentil (P20), que é o valor abaixo do qual 20% dos dados estão. A posição de P20 é:
P20 = 20N100 = 20 times 70100 = 14
Consultando a tabela de frequências acumuladas:
  • A posição 14 está na segunda classe (158–166 cm).
Aplicando a fórmula do percentil:
P20 = L + ( P - Ff ) times c
Onde:
  • $ L $ = limite inferior da classe do P20 = 158 cm
  • $ P $ = posição do percentil = 14
  • $ F $ = frequência acumulada antes da classe do P20 = 5
  • $ f $ = frequência da classe do P20 = 12
  • $ c $ = amplitude da classe = 8 cm
Substituindo:
L

Resposta

Então, resumindo os resultados:
  • Média Aritmética: $ \approx 172,4 , cm $
  • Mediana: $ 174 , cm $
  • Moda: $ \approx 176,57 , cm $
  • Primeiro Quartil (Q1): $ \approx 167,78 , cm $
  • Terceiro Quartil (Q3): $ \approx 179,18 , cm $
  • Décimo Percentil (P10): $ 161,2 , cm $
  • Vigésimo Percentil (P20): $ 164 , cm $

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