Calcule a média aritmética, mediana, moda, primeiro quartil, terceiro quartil, décimo percentil e vigésimo percentil das distribuições abaixo:
b.
b.
ESTATURAS <br>
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5 |
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12 |
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18 |
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27 |
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8 |
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular várias medidas de tendência central e de posição (como média, mediana, moda, quartis e percentis) de uma distribuição de estaturas. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente, análise de tabelas de frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos dessas medidas e aplicar fórmulas apropriadas, usando os dados fornecidos na tabela de frequências.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o marco de classe (também conhecido como ponto médio) para cada intervalo de estatura. O marco de classe é a média dos limites inferior e superior de cada classe. Isso vai nos ajudar a calcular a média aritmética.
Vamos calcular os marcos de classe:
- Intervalo 150–158 cm:
- Intervalo 158–166 cm:
- Intervalo 166–174 cm:
- Intervalo 174–182 cm:
- Intervalo 182–190 cm:
Passo 3
Agora, vamos calcular a média aritmética. A média é a soma dos produtos dos marcos de classe pelas suas respectivas frequências, dividida pela soma das frequências.
A fórmula é:
Vamos calcular cada produto $ f_i \times x_i $:
- $ 5 \times 154 = 770 $
- $ 12 \times 162 = 1944 $
- $ 18 \times 170 = 3060 $
- $ 27 \times 178 = 4806 $
- $ 8 \times 186 = 1488 $
Somando esses valores:
E a soma das frequências é 70.
Então, a média é:
Passo 4
Vamos encontrar a mediana. A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, ou seja, a classe onde está o valor que ocupa a posição $ \frac{N}{2} $, onde $ N $ é o total de observações. Aqui, $ N = 70 $, então $ \frac{70}{2} = 35 $.
Primeiro, precisamos construir a tabela de frequências acumuladas:
- 150–158 cm: 5 (acumulado: 5)
- 158–166 cm: 12 (acumulado: 17)
- 166–174 cm: 18 (acumulado: 35)
- 174–182 cm: 27 (acumulado: 62)
- 182–190 cm: 8 (acumulado: 70)
A posição 35 está na terceira classe (166–174 cm), que tem frequência acumulada até 35.
Agora, aplicamos a fórmula da mediana:
Onde:
- $ L $ = limite inferior da classe mediana = 166 cm
- $ F $ = frequência acumulada antes da classe mediana = 17
- $ f $ = frequência da classe mediana = 18
- $ c $ = amplitude da classe = 8 cm (174 - 166)
Substituindo:
Passo 5
Vamos encontrar a moda. A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Observando a tabela, a classe com maior frequência é 174–182 cm, com 27 observações.
Para calcular a moda, usamos a fórmula:
Onde:
- $ L $ = limite inferior da classe modal = 174 cm
- $ f_1 $ = frequência da classe modal = 27
- $ f_0 $ = frequência da classe anterior = 18
- $ f_2 $ = frequência da classe seguinte = 8
- $ c $ = amplitude da classe = 8 cm
Substituindo:
Passo 6
Vamos calcular o primeiro quartil (Q1), que é o valor abaixo do qual 25% dos dados estão. A posição de Q1 é:
Consultando a tabela de frequências acumuladas:
- A posição 17,5 está na terceira classe (166–174 cm).
Aplicando a fórmula do quartil:
Onde:
- $ L $ = limite inferior da classe do Q1 = 166 cm
- $ F $ = frequência acumulada antes da classe do Q1 = 17
- $ f $ = frequência da classe do Q1 = 18
- $ c $ = amplitude da classe = 8 cm
Substituindo:
Passo 7
Agora, vamos calcular o terceiro quartil (Q3), que é o valor abaixo do qual 75% dos dados estão. A posição de Q3 é:
Consultando a tabela de frequências acumuladas:
- A posição 52,5 está na quarta classe (174–182 cm).
Aplicando a fórmula do quartil:
Onde:
- $ L $ = limite inferior da classe do Q3 = 174 cm
- $ F $ = frequência acumulada antes da classe do Q3 = 35
- $ f $ = frequência da classe do Q3 = 27
- $ c $ = amplitude da classe = 8 cm
Substituindo:
Passo 8
Vamos calcular o décimo percentil (P10), que é o valor abaixo do qual 10% dos dados estão. A posição de P10 é:
Consultando a tabela de frequências acumuladas:
- A posição 7 está na primeira classe (150–158 cm).
Aplicando a fórmula do percentil:
Onde:
- $ L $ = limite inferior da classe do P10 = 150 cm
- $ P $ = posição do percentil = 7
- $ F $ = frequência acumulada antes da classe do P10 = 0
- $ f $ = frequência da classe do P10 = 5
- $ c $ = amplitude da classe = 8 cm
Substituindo:
Passo 9
Por fim, vamos calcular o vigésimo percentil (P20), que é o valor abaixo do qual 20% dos dados estão. A posição de P20 é:
Consultando a tabela de frequências acumuladas:
- A posição 14 está na segunda classe (158–166 cm).
Aplicando a fórmula do percentil:
Onde:
- $ L $ = limite inferior da classe do P20 = 158 cm
- $ P $ = posição do percentil = 14
- $ F $ = frequência acumulada antes da classe do P20 = 5
- $ f $ = frequência da classe do P20 = 12
- $ c $ = amplitude da classe = 8 cm
Substituindo:
Resposta
Então, resumindo os resultados:
- Média Aritmética: $ \approx 172,4 , cm $
- Mediana: $ 174 , cm $
- Moda: $ \approx 176,57 , cm $
- Primeiro Quartil (Q1): $ \approx 167,78 , cm $
- Terceiro Quartil (Q3): $ \approx 179,18 , cm $
- Décimo Percentil (P10): $ 161,2 , cm $
- Vigésimo Percentil (P20): $ 164 , cm $