Calcule a média aritmética, mediana, moda, primeiro quartil, terceiro quartil, décimo percentil e vigésimo percentil das distribuições abaixo:
d.
PESOS <br> (kg) fi
145 vdash 151 10
151 vdash 157 9
157 vdash 163 8
163 vdash 169 6
169 vdash 175 3
175 vdash 181 3
181 vdash 187 1
Sigma=40

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular várias medidas estatísticas: média aritmética, mediana, moda, primeiro quartil, terceiro quartil, décimo percentil e vigésimo percentil, para uma distribuição de pesos dada em tabelas com intervalos de classes e suas respectivas frequências. Para isso, vamos precisar entender como encontrar cada uma dessas medidas usando os dados agrupados.

Passo 2

Vamos começar calculando a média aritmética. A média é o valor que representa o centro dos dados. Para dados agrupados, fazemos o seguinte:
  1. Encontrar o ponto médio de cada classe. Isso é a média entre o limite inferior e superior da classe.
  2. Multiplicar cada ponto médio pela frequência da classe correspondente.
  3. Somar todos esses valores.
  4. Dividir pelo total de frequências.
Vamos calcular:
PESOS (kg) $ f_i $ Ponto Médio ($ x_i $) $ x_i \times f_i $
145–151 10 148 1480
151–157 9 154 1386
157–163 8 160 1280
163–169 6 166 996
169–175 3 172 516
175–181 3 178 534
181–187 1 184 184
Total 40 7286
Agora, a média é:
fi é

Passo 3

Vamos calcular a mediana. A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, ou seja, 50% dos dados estão abaixo e 50% acima dela.
  1. Calcular a posição da mediana: N2, onde N é o total de frequências.
    402 = 20
  2. Identificar a classe mediana: A classe onde a frequência acumulada alcança ou ultrapassa 20.
    • 145–151: 10
    • 151–157: 10 + 9 = 19
    • 157–163: 19 + 8 = 27 → Classe mediana: 157–163
  3. Aplicar a fórmula da mediana:
Mediana = L + ( N2 - Ff ) times c
Onde:
  • L = limite inferior da classe mediana = 157
  • F = frequência acumulada antes da classe mediana = 19
  • f = frequência da classe mediana = 8
  • c = amplitude da classe = 6
Mediana = 157 + ( 20 - 198 ) times 6 = 157 + ( 18 ) times 6 = 157 + 0.75 = 157.75 , kg

Passo 4

Agora, vamos encontrar a moda. A moda é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição.
  1. Identificar a classe modal: A classe com a maior frequência é 145–151 kg com frequência 10.
  2. Aplicar a fórmula da moda:
Moda = L + ( f1 - f02f1 - f0 - f2 ) times c
Onde:
  • L = limite inferior da classe modal = 145
  • f1 = frequência da classe modal = 10
  • f0 = frequência da classe anterior = 0 (não há classe antes de 145–151)
  • f2 = frequência da classe seguinte = 9
  • c = amplitude da classe = 6
Moda = 145 + ( 10 - 02 times 10 - 0 - 9 ) times 6 = 145 + ( 1011 ) times 6 approx 145 + 5.45 = 150.45 , kg

Passo 5

Vamos calcular o primeiro quartil (Q1), que é o valor abaixo do qual 25% dos dados se encontram.
  1. Calcular a posição do Q1: $ \frac{N}{4} = \frac{40}{4} = 10 $
  2. Identificar a classe do Q1: A frequência acumulada que atinge ou ultrapassa 10 é na primeira classe (145–151 kg).
  3. Aplicar a fórmula do quartil:
N4 = 404 = 10
Onde:
  • Q1 = L + ( N4 - Ff ) times c = limite inferior da classe = 145
  • L = frequência acumulada antes da classe = 0
  • F = frequência da classe = 10
  • f = amplitude da classe = 6
c

Passo 6

Vamos para o terceiro quartil (Q3), que é o valor abaixo do qual 75% dos dados se encontram.
  1. Calcular a posição do Q3: $ \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 40}{4} = 30 $
  2. Identificar a classe do Q3: A frequência acumulada que chega a 30 está na classe 163–169 kg (frequência acumulada até essa classe é 10 + 9 + 8 + 6 = 33).
  3. Aplicar a fórmula do quartil:
3N4 = 3 times 404 = 30
Onde:
  • Q3 = L + ( 3N4 - Ff ) times c = limite inferior da classe = 163
  • L = frequência acumulada antes da classe = 27
  • F = frequência da classe = 6
  • f = amplitude da classe = 6
c

Passo 7

Vamos calcular o décimo percentil (P10), que é o valor abaixo do qual 10% dos dados se encontram.
  1. Calcular a posição do P10: $ \frac{10N}{100} = \frac{10 \times 40}{100} = 4 $
  2. Identificar a classe do P10: A posição 4 está na primeira classe (145–151 kg).
  3. Aplicar a fórmula do percentil:
10N100 = 10 times 40100 = 4
Onde:
  • P10 = L + ( 10N100 - Ff ) times c = limite inferior da classe = 145
  • L = frequência acumulada antes da classe = 0
  • F = frequência da classe = 10
  • f = amplitude da classe = 6
c

Passo 8

Por último, vamos calcular o vigésimo percentil (P20), que é o valor abaixo do qual 20% dos dados se encontram.
  1. Calcular a posição do P20: $ \frac{20N}{100} = \frac{20 \times 40}{100} = 8 $
  2. Identificar a classe do P20: A posição 8 está na primeira classe (145–151 kg).
  3. Aplicar a fórmula do percentil:
20N100 = 20 times 40100 = 8
Onde:
  • P20 = L + ( 20N100 - Ff ) times c = limite inferior da classe = 145
  • L = frequência acumulada antes da classe = 0
  • F = frequência da classe = 10
  • f = amplitude da classe = 6
c

Resposta

  • Média Aritmética: 182,15 kg
  • Mediana: 157,75 kg
  • Moda: 150,45 kg
  • Primeiro Quartil (Q1): 151 kg
  • Terceiro Quartil (Q3): 166 kg
  • Décimo Percentil (P10): 147,4 kg
  • Vigésimo Percentil (P20): 149,8 kg

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