Calcule a média aritmética, mediana, moda, primeiro quartil, terceiro quartil, décimo percentil e vigésimo percentil das distribuições abaixo:
d.
d.
PESOS <br>
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10 |
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9 |
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8 |
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6 |
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3 |
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3 |
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1 |
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular várias medidas estatísticas: média aritmética, mediana, moda, primeiro quartil, terceiro quartil, décimo percentil e vigésimo percentil, para uma distribuição de pesos dada em tabelas com intervalos de classes e suas respectivas frequências. Para isso, vamos precisar entender como encontrar cada uma dessas medidas usando os dados agrupados.
Passo 2
Vamos começar calculando a média aritmética. A média é o valor que representa o centro dos dados. Para dados agrupados, fazemos o seguinte:
- Encontrar o ponto médio de cada classe. Isso é a média entre o limite inferior e superior da classe.
- Multiplicar cada ponto médio pela frequência da classe correspondente.
- Somar todos esses valores.
- Dividir pelo total de frequências.
Vamos calcular:
PESOS (kg) | $ f_i $ | Ponto Médio ($ x_i $) | $ x_i \times f_i $ |
---|---|---|---|
145–151 | 10 | 148 | 1480 |
151–157 | 9 | 154 | 1386 |
157–163 | 8 | 160 | 1280 |
163–169 | 6 | 166 | 996 |
169–175 | 3 | 172 | 516 |
175–181 | 3 | 178 | 534 |
181–187 | 1 | 184 | 184 |
Total | 40 | 7286 |
Agora, a média é:
Passo 3
Vamos calcular a mediana. A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, ou seja, 50% dos dados estão abaixo e 50% acima dela.
-
Calcular a posição da mediana:
, onde é o total de frequências. -
Identificar a classe mediana: A classe onde a frequência acumulada alcança ou ultrapassa 20.
- 145–151: 10
- 151–157: 10 + 9 = 19
- 157–163: 19 + 8 = 27 → Classe mediana: 157–163
-
Aplicar a fórmula da mediana:
Onde:
-
= limite inferior da classe mediana = 157 -
= frequência acumulada antes da classe mediana = 19 -
= frequência da classe mediana = 8 -
= amplitude da classe = 6
Passo 4
Agora, vamos encontrar a moda. A moda é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição.
-
Identificar a classe modal: A classe com a maior frequência é 145–151 kg com frequência 10.
-
Aplicar a fórmula da moda:
Onde:
-
= limite inferior da classe modal = 145 -
= frequência da classe modal = 10 -
= frequência da classe anterior = 0 (não há classe antes de 145–151) -
= frequência da classe seguinte = 9 -
= amplitude da classe = 6
Passo 5
Vamos calcular o primeiro quartil (Q1), que é o valor abaixo do qual 25% dos dados se encontram.
-
Calcular a posição do Q1: $ \frac{N}{4} = \frac{40}{4} = 10 $
-
Identificar a classe do Q1: A frequência acumulada que atinge ou ultrapassa 10 é na primeira classe (145–151 kg).
-
Aplicar a fórmula do quartil:
Onde:
-
= limite inferior da classe = 145 -
= frequência acumulada antes da classe = 0 -
= frequência da classe = 10 -
= amplitude da classe = 6
Passo 6
Vamos para o terceiro quartil (Q3), que é o valor abaixo do qual 75% dos dados se encontram.
-
Calcular a posição do Q3: $ \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 40}{4} = 30 $
-
Identificar a classe do Q3: A frequência acumulada que chega a 30 está na classe 163–169 kg (frequência acumulada até essa classe é 10 + 9 + 8 + 6 = 33).
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Aplicar a fórmula do quartil:
Onde:
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= limite inferior da classe = 163 -
= frequência acumulada antes da classe = 27 -
= frequência da classe = 6 -
= amplitude da classe = 6
Passo 7
Vamos calcular o décimo percentil (P10), que é o valor abaixo do qual 10% dos dados se encontram.
-
Calcular a posição do P10: $ \frac{10N}{100} = \frac{10 \times 40}{100} = 4 $
-
Identificar a classe do P10: A posição 4 está na primeira classe (145–151 kg).
-
Aplicar a fórmula do percentil:
Onde:
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= limite inferior da classe = 145 -
= frequência acumulada antes da classe = 0 -
= frequência da classe = 10 -
= amplitude da classe = 6
Passo 8
Por último, vamos calcular o vigésimo percentil (P20), que é o valor abaixo do qual 20% dos dados se encontram.
-
Calcular a posição do P20: $ \frac{20N}{100} = \frac{20 \times 40}{100} = 8 $
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Identificar a classe do P20: A posição 8 está na primeira classe (145–151 kg).
-
Aplicar a fórmula do percentil:
Onde:
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= limite inferior da classe = 145 -
= frequência acumulada antes da classe = 0 -
= frequência da classe = 10 -
= amplitude da classe = 6
Resposta
- Média Aritmética: 182,15 kg
- Mediana: 157,75 kg
- Moda: 150,45 kg
- Primeiro Quartil (Q1): 151 kg
- Terceiro Quartil (Q3): 166 kg
- Décimo Percentil (P10): 147,4 kg
- Vigésimo Percentil (P20): 149,8 kg