Calcule a média, a mediana, a variância e o desvio médio absoluto da seguinte distribuição. Construa também um histograma e um polígono de frequência (no mesmo referencial) para esta distribuição
Classes Frequência
4 mapsto 6 10
6 mapsto 8 12
8 mapsto 10 18
10 mapsto 12 6
12 mapsto 14 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa calcular a média, a mediana, a variância e o desvio médio absoluto de uma distribuição de frequências. Além disso, vamos montar um histograma e um polígono de frequência para essa distribuição. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de estatística descriptiva e usar um pouquinho de matemática básica, como médias e cálculos de variância.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos as classes de valores e suas respectivas frequências:
Classes Frequência
4 mapsto 6 10
6 mapsto 8 12
8 mapsto 10 18
10 mapsto 12 6
12 mapsto 14 4
Para facilitar os cálculos, vamos encontrar o ponto médio de cada classe. O ponto médio é a média entre os limites inferior e superior de cada classe.
Classes Frequência ( f) Ponto Médio ( x)
4 mapsto 6 10 5
6 mapsto 8 12 7
8 mapsto 10 18 9
10 mapsto 12 6 11
12 mapsto 14 4 13

Passo 3

Agora, vamos calcular a média da distribuição. A média ( barx) é dada pela fórmula:
barx = sum f xsum f
Vamos calcular sum f x:
(10 times 5) + (12 times 7) + (18 times 9) + (6 times 11) + (4 times 13) = 50 + 84 + 162 + 66 + 52 = 414
E sum f é a soma das frequências:
10 + 12 + 18 + 6 + 4 = 50
Então, a média é:
barx = 41450 = 8,28

Passo 4

Vamos calcular a mediana. A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, ou seja, onde acumulamos 50% das frequências. Primeiro, precisamos encontrar a posição da mediana:
Posição da mediana = N + 12 = 50 + 12 = 25,5 çã
Agora, vamos construir a tabela de frequência cumulativa:
Classes Frequência ( f) Frequência Cumulada ( F)
4 mapsto 6 10 10
6 mapsto 8 12 22
8 mapsto 10 18 40
10 mapsto 12 6 46
12 mapsto 14 4 50
A posição 25,5 está na terceira classe ( 8 mapsto 10). Usamos a fórmula da mediana para distribuição de classes:
Mediana = L + ( N2 - Fanteriorf ) times c
Onde:
  • L = limite inferior da classe mediana = 8
  • Fanterior = frequência cumulada antes da classe mediana = 22
  • f = frequência da classe mediana = 18
  • c = amplitude da classe = 2
Substituindo:
Mediana = 8 + ( 25 - 2218 ) times 2 = 8 + ( 318 ) times 2 = 8 + 618 = 8 + 0,333 = 8,33

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância. A variância ( sigma^2) mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média. A fórmula é:
sigma^2 = sum f (x - barx)^2sum f
Primeiro, calculamos (x - barx)^2 para cada ponto médio:
Classes Frequência ( f) Ponto Médio ( x) x - barx (x - barx)^2 f(x - barx)^2
4 mapsto 6 10 5 5 - 8,28 = -3,28 10,75 10 times 10,75 = 107,5
6 mapsto 8 12 7 7 - 8,28 = -1,28 1,64 12 times 1,64 = 19,68
8 mapsto 10 18 9 9 - 8,28 = 0,72 0,52 18 times 0,52 = 9,36
10 mapsto 12 6 11 11 - 8,28 = 2,72 7,40 6 times 7,40 = 44,4
12 mapsto 14 4 13 13 - 8,28 = 4,72 22,27 4 times 22,27 = 89,08
Somando f(x - barx)^2:
107,5 + 19,68 + 9,36 + 44,4 + 89,08 = 269,02
Então, a variância é:
sigma^2 = 269,0250 = 5,38

Passo 6

Vamos calcular o desvio médio absoluto, que é a média dos valores absolutos das diferenças entre cada ponto e a média. A fórmula é:
Desvio Médio Absoluto = sum f |x - barx|sum f é
Calculando |x - barx|:
Classes Frequência ( f) Ponto Médio ( x) $ x - \bar{x} $ $f x - \bar{x} $
|x - barx| 10 5 3,28 f|x - barx|
4 mapsto 6 12 7 1,28 10 times 3,28 = 32,8
6 mapsto 8 18 9 0,72 12 times 1,28 = 15,36
8 mapsto 10 6 11 2,72 18 times 0,72 = 12,96
10 mapsto 12 4 13 4,72 6 times 2,72 = 16,32
Somando $f x - \bar{x} $:
12 mapsto 14
Então, o desvio médio absoluto é:
4 times 4,72 = 18,88

Resposta

A média da distribuição é aproximadamente 8,28, a mediana é 8,33, a variância é 5,38 e o desvio médio absoluto é 1,91. Além disso, ao construir o histograma e o polígono de frequência, conseguimos visualizar a distribuição dos dados de forma gráfica.

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