Calcule a média, a mediana, a variância e o desvio médio absoluto da seguinte distribuição. Construa também um histograma e um polígono de frequência (no mesmo referencial) para esta distribuição
Classes | Frequência |
---|---|
|
10 |
|
12 |
|
18 |
|
6 |
|
4 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa calcular a média, a mediana, a variância e o desvio médio absoluto de uma distribuição de frequências. Além disso, vamos montar um histograma e um polígono de frequência para essa distribuição. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de estatística descriptiva e usar um pouquinho de matemática básica, como médias e cálculos de variância.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados. Temos as classes de valores e suas respectivas frequências:
Classes | Frequência |
---|---|
|
10 |
|
12 |
|
18 |
|
6 |
|
4 |
Para facilitar os cálculos, vamos encontrar o ponto médio de cada classe. O ponto médio é a média entre os limites inferior e superior de cada classe.
Classes | Frequência (
|
Ponto Médio (
|
---|---|---|
|
10 | 5 |
|
12 | 7 |
|
18 | 9 |
|
6 | 11 |
|
4 | 13 |
Passo 3
Agora, vamos calcular a média da distribuição. A média (
) é dada pela fórmula:
Vamos calcular
:
E
é a soma das frequências:
Então, a média é:
Passo 4
Vamos calcular a mediana. A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, ou seja, onde acumulamos 50% das frequências. Primeiro, precisamos encontrar a posição da mediana:
Agora, vamos construir a tabela de frequência cumulativa:
Classes | Frequência (
|
Frequência Cumulada (
|
---|---|---|
|
10 | 10 |
|
12 | 22 |
|
18 | 40 |
|
6 | 46 |
|
4 | 50 |
A posição 25,5 está na terceira classe (
). Usamos a fórmula da mediana para distribuição de classes:
Onde:
-
= limite inferior da classe mediana = 8 -
= frequência cumulada antes da classe mediana = 22 -
= frequência da classe mediana = 18 -
= amplitude da classe = 2
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância. A variância (
) mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média. A fórmula é:
Primeiro, calculamos
para cada ponto médio:
Classes | Frequência (
|
Ponto Médio (
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|
|
10 | 5 |
|
|
|
|
12 | 7 |
|
|
|
|
18 | 9 |
|
|
|
|
6 | 11 |
|
|
|
|
4 | 13 |
|
|
|
Somando
:
Então, a variância é:
Passo 6
Vamos calcular o desvio médio absoluto, que é a média dos valores absolutos das diferenças entre cada ponto e a média. A fórmula é:
Calculando
:
Classes | Frequência (
|
Ponto Médio (
|
$ | x - \bar{x} | $ | $f | x - \bar{x} | $ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
10 | 5 | 3,28 |
|
||||
|
12 | 7 | 1,28 |
|
||||
|
18 | 9 | 0,72 |
|
||||
|
6 | 11 | 2,72 |
|
||||
|
4 | 13 | 4,72 |
|
||||
Somando $f | x - \bar{x} | $: |
Então, o desvio médio absoluto é:
Resposta
A média da distribuição é aproximadamente
, a mediana é
, a variância é
e o desvio médio absoluto é
. Além disso, ao construir o histograma e o polígono de frequência, conseguimos visualizar a distribuição dos dados de forma gráfica.
Exercícios relacionados
Faça o histograma da distribuição de frequências apresentada na tabela abaixo, cujos dados se referem às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégio A.
Classes |
|
|
4 |
|
9 |
|
11 |
|
8 |
|
5 |
|
3 |
Tabela 1 - Tabela de frequências para os dados das estaturas
Explique qualitativamente a construção do desvio padrão a partir do desvio médio e da variância. Explique as vantagens matemáticas que o desvio padrão possui em relação a variância.
Mostre que as medidas de dispersão são invariantes por translações dos dados. Mais precisamente, dada uma constante não nula k; se a partir de um conjunto de dados xi; definirmos o conjuntos de dados
então
e
. Além disso, se definirmos o conjunto de dados
então
e
.
Se, em um determinado período, a temperatura média em uma determinada localidade é de 45 graus Fahrenheit. Gostaríamos de obter a temperatura média correspondente se os dados tivessem sido medidos em graus Celsius. Explique por que não poderíamos simplesmente usar a relação de conversão entre as referidas escalas (
), se não fosse o exercício anterior. Obtenha a média em graus Celsius.