Calcule a média, a mediana, a variância e o desvio médio absoluto da seguinte distribuição. Construa também um histograma e um polígono de frequência (no mesmo referencial) para esta distribuição
Classes Frequência
10
12
18
6
4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa calcular a média, a mediana, a variância e o desvio médio absoluto de uma distribuição de frequências. Além disso, vamos montar um histograma e um polígono de frequência para essa distribuição. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de estatística descriptiva e usar um pouquinho de matemática básica, como médias e cálculos de variância.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos as classes de valores e suas respectivas frequências:
Classes Frequência
10
12
18
6
4
Para facilitar os cálculos, vamos encontrar o ponto médio de cada classe. O ponto médio é a média entre os limites inferior e superior de cada classe.
Classes Frequência ( ) Ponto Médio ( )
10 5
12 7
18 9
6 11
4 13

Passo 3

Agora, vamos calcular a média da distribuição. A média ( ) é dada pela fórmula:
Vamos calcular :
E é a soma das frequências:
Então, a média é:

Passo 4

Vamos calcular a mediana. A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, ou seja, onde acumulamos 50% das frequências. Primeiro, precisamos encontrar a posição da mediana:
çã
Agora, vamos construir a tabela de frequência cumulativa:
Classes Frequência ( ) Frequência Cumulada ( )
10 10
12 22
18 40
6 46
4 50
A posição 25,5 está na terceira classe ( ). Usamos a fórmula da mediana para distribuição de classes:
Onde:
  • = limite inferior da classe mediana = 8
  • = frequência cumulada antes da classe mediana = 22
  • = frequência da classe mediana = 18
  • = amplitude da classe = 2
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância. A variância ( ) mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média. A fórmula é:
Primeiro, calculamos para cada ponto médio:
Classes Frequência ( ) Ponto Médio ( )
10 5
12 7
18 9
6 11
4 13
Somando :
Então, a variância é:

Passo 6

Vamos calcular o desvio médio absoluto, que é a média dos valores absolutos das diferenças entre cada ponto e a média. A fórmula é:
é
Calculando :
Classes Frequência ( ) Ponto Médio ( ) $ x - \bar{x} $ $f x - \bar{x} $
10 5 3,28
12 7 1,28
18 9 0,72
6 11 2,72
4 13 4,72
Somando $f x - \bar{x} $:
Então, o desvio médio absoluto é:

Resposta

A média da distribuição é aproximadamente , a mediana é , a variância é e o desvio médio absoluto é . Além disso, ao construir o histograma e o polígono de frequência, conseguimos visualizar a distribuição dos dados de forma gráfica.

Exercícios relacionados

Faça o histograma da distribuição de frequências apresentada na tabela abaixo, cujos dados se referem às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégio A.
Classes
4
9
11
8
5
3
Tabela 1 - Tabela de frequências para os dados das estaturas
Explique qualitativamente a construção do desvio padrão a partir do desvio médio e da variância. Explique as vantagens matemáticas que o desvio padrão possui em relação a variância.
Mostre que as medidas de dispersão são invariantes por translações dos dados. Mais precisamente, dada uma constante não nula k; se a partir de um conjunto de dados xi; definirmos o conjuntos de dados então e . Além disso, se definirmos o conjunto de dados então e .
Se, em um determinado período, a temperatura média em uma determinada localidade é de 45 graus Fahrenheit. Gostaríamos de obter a temperatura média correspondente se os dados tivessem sido medidos em graus Celsius. Explique por que não poderíamos simplesmente usar a relação de conversão entre as referidas escalas ( ), se não fosse o exercício anterior. Obtenha a média em graus Celsius.