Mostre que as medidas de dispersão são invariantes por translações dos dados. Mais precisamente, dada uma constante não nula k; se a partir de um conjunto de dados xi; definirmos o conjuntos de dados então e . Além disso, se definirmos o conjunto de dados então e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que as medidas de dispersão (como amplitude, desvio médio absoluto, variância e desvio padrão) não mudam quando a gente faz uma translação nos dados, ou seja, quando a gente adiciona ou multiplica uma constante. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que são essas medidas de dispersão e como elas se comportam quando aplicamos transformações lineares nos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a translação dos dados, que é quando adicionamos uma constante a cada elemento do conjunto de dados . Então, definimos um novo conjunto . A ideia é mostrar que as medidas de dispersão para são iguais às de .

Passo 3

Vamos começar pela amplitude ( ). A amplitude é simplesmente a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Quando adicionamos a cada , tanto o máximo quanto o mínimo aumentam em , então a diferença entre eles fica a mesma:

Passo 4

Agora, vamos para o Desvio Médio Absoluto ( ). O é a média das diferenças absolutas entre cada dado e a média do conjunto. Quando adicionamos a cada , a média também aumenta em , então essas diferenças absolutas não mudam:

Passo 5

Vamos para a variância ( ). A variância mede a média dos quadrados das diferenças entre cada dado e a média. Ao adicionar a cada , esses quadrados não mudam porque o cancela:

Passo 6

Finalmente, o desvio padrão ( ) é a raiz quadrada da variância. Como a variância não mudou, o desvio padrão também permanece o mesmo:

Passo 7

Agora, vamos considerar a multiplicação dos dados por , ou seja, . Vamos mostrar como isso afeta cada medida de dispersão.

Passo 8

Para a amplitude ( ):

Passo 9

Para o Desvio Médio Absoluto ( ):

Passo 10

Para a variância ( ):
Como é uma constante, podemos simplificar para .

Passo 11

E para o desvio padrão ( ):

Resposta

Assim, mostramos que as medidas de dispersão são invariantes por translações dos dados e se comportam conforme esperado quando multiplicamos os dados por uma constante :

Exercícios relacionados

Calcule a média, a mediana, a variância e o desvio médio absoluto da seguinte distribuição. Construa também um histograma e um polígono de frequência (no mesmo referencial) para esta distribuição
Classes Frequência
10
12
18
6
4
Faça o histograma da distribuição de frequências apresentada na tabela abaixo, cujos dados se referem às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégio A.
Classes
4
9
11
8
5
3
Tabela 1 - Tabela de frequências para os dados das estaturas
Se, em um determinado período, a temperatura média em uma determinada localidade é de 45 graus Fahrenheit. Gostaríamos de obter a temperatura média correspondente se os dados tivessem sido medidos em graus Celsius. Explique por que não poderíamos simplesmente usar a relação de conversão entre as referidas escalas ( ), se não fosse o exercício anterior. Obtenha a média em graus Celsius.
Calcule as medidas de posição (média, moda, mediana, primeiro e terceiro quartil) e dispersão (amplitude, variância, desvio-padrão) para os dados.
№ de filhos 0 2 3 2 1 4 5 3 6 7 4 3 2 1 3 5 6 3 2 1