Mostre que as medidas de dispersão são invariantes por translações dos dados. Mais precisamente, dada uma constante não nula k; se a partir de um conjunto de dados xi; definirmos o conjuntos de dados então e . Além disso, se definirmos o conjunto de dados então e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que as medidas de dispersão (como amplitude, desvio médio absoluto, variância e desvio padrão) não mudam quando a gente faz uma translação nos dados, ou seja, quando a gente adiciona ou multiplica uma constante. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que são essas medidas de dispersão e como elas se comportam quando aplicamos transformações lineares nos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a translação dos dados, que é quando adicionamos uma constante a cada elemento do conjunto de dados . Então, definimos um novo conjunto . A ideia é mostrar que as medidas de dispersão para são iguais às de .
Passo 3
Vamos começar pela amplitude (). A amplitude é simplesmente a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Quando adicionamos a cada , tanto o máximo quanto o mínimo aumentam em , então a diferença entre eles fica a mesma:
Passo 4
Agora, vamos para o Desvio Médio Absoluto (). O é a média das diferenças absolutas entre cada dado e a média do conjunto. Quando adicionamos a cada , a média também aumenta em , então essas diferenças absolutas não mudam:
Passo 5
Vamos para a variância (). A variância mede a média dos quadrados das diferenças entre cada dado e a média. Ao adicionar a cada , esses quadrados não mudam porque o cancela:
Passo 6
Finalmente, o desvio padrão () é a raiz quadrada da variância. Como a variância não mudou, o desvio padrão também permanece o mesmo:
Passo 7
Agora, vamos considerar a multiplicação dos dados por , ou seja, . Vamos mostrar como isso afeta cada medida de dispersão.
Passo 8
Para a amplitude ():
Passo 9
Para o Desvio Médio Absoluto ():
Passo 10
Para a variância ():
Como é uma constante, podemos simplificar para .
Passo 11
E para o desvio padrão ():
Resposta
Assim, mostramos que as medidas de dispersão são invariantes por translações dos dados e se comportam conforme esperado quando multiplicamos os dados por uma constante :