Mostre que as medidas de dispersão são invariantes por translações dos dados. Mais precisamente, dada uma constante não nula k; se a partir de um conjunto de dados xi; definirmos o conjuntos de dados yi=xi+k então De D M Ax, sigmay^2=sigmax^2 e sigmay=sigmax. Além disso, se definirmos o conjunto de dados zi= |k| xi então De e sigmaz=|k| sigmax.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que as medidas de dispersão (como amplitude, desvio médio absoluto, variância e desvio padrão) não mudam quando a gente faz uma translação nos dados, ou seja, quando a gente adiciona ou multiplica uma constante. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que são essas medidas de dispersão e como elas se comportam quando aplicamos transformações lineares nos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a translação dos dados, que é quando adicionamos uma constante a cada elemento do conjunto de dados . Então, definimos um novo conjunto . A ideia é mostrar que as medidas de dispersão para são iguais às de .

Passo 3

Vamos começar pela amplitude ( De). A amplitude é simplesmente a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Quando adicionamos a cada , tanto o máximo quanto o mínimo aumentam em , então a diferença entre eles fica a mesma:

Passo 4

Agora, vamos para o Desvio Médio Absoluto ( DMAy = 1n sumi=1^n |(yi - y)| = 1n sumi=1^n |(xi + k - (x + k))| = 1n sumi=1^n |xi - x| = DMAx ). O é a média das diferenças absolutas entre cada dado e a média do conjunto. Quando adicionamos a cada , a média também aumenta em , então essas diferenças absolutas não mudam:

Passo 5

Vamos para a variância ( sigmay^2 = 1n sumi=1^n (yi - y)^2 = 1n sumi=1^n (xi + k - (x + k))^2 = 1n sumi=1^n (xi - x)^2 = sigmax^2 ). A variância mede a média dos quadrados das diferenças entre cada dado e a média. Ao adicionar a cada , esses quadrados não mudam porque o cancela:

Passo 6

Finalmente, o desvio padrão ( sigmay = raizsigmay^2 = raizsigmax^2 = sigmax ) é a raiz quadrada da variância. Como a variância não mudou, o desvio padrão também permanece o mesmo:

Passo 7

Agora, vamos considerar a multiplicação dos dados por , ou seja, . Vamos mostrar como isso afeta cada medida de dispersão.

Passo 8

Para a amplitude ( De):

Passo 9

Para o Desvio Médio Absoluto ( DMAz = 1n sumi=1^n |zi - z| = 1n sumi=1^n ||k| xi - |k| x| = |k| 1n sumi=1^n |xi - x| = |k| DMAx ):

Passo 10

Para a variância ( sigmaz^2 = 1n sumi=1^n (zi - z)^2 = 1n sumi=1^n (|k| xi - |k| x)^2 = |k|^2 1n sumi=1^n (xi - x)^2 = |k|^2 sigmax^2 ):
Como é uma constante, podemos simplificar para .

Passo 11

E para o desvio padrão ( sigmaz = raizsigmaz^2 = raiz|k| sigmax^2 = |k| sigmax ):

Resposta

Assim, mostramos que as medidas de dispersão são invariantes por translações dos dados e se comportam conforme esperado quando multiplicamos os dados por uma constante De:
De

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