Calcule a média e o valor esperado das potências impares de x, i.e,
lang<= x^2 n+1rang<==integral-infty^infty x^2 n+1 psigma(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar! Você quer calcular a média e o valor esperado das potências ímpares de , ou seja, . Para isso, vamos trabalhar com integração envolvendo funções de probabilidade. Vamos precisar entender um pouco de estatística, especialmente sobre distribuições simétricas e propriedades de integrais de funções ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. O valor esperado de uma função de lang<= x^krang<= = integral-infty^infty x^k psigma(x) , dx é dado pela integral de vezes a função de densidade de probabilidade :
No seu caso, , que é uma potência ímpar.

Passo 3

Agora, vamos considerar a forma da função de densidade de probabilidade psigma(x) = 1raiz2pisigma e^-x^22sigma^2 . Geralmente, representa uma distribuição simétrica em torno de zero, como a distribuição normal (Gaussiana):
Essa distribuição é simétrica porque .

Passo 4

Quando temos uma função ímpar multiplicada por uma função par e simétrica, como é o caso aqui, a integral de a resulta em zero. Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Matematicamente, uma função é ímpar se . No nosso caso, é uma função ímpar e é uma função par.

Passo 5

Aplicando essa propriedade, temos:
lang<= x^2n+1rang<= = integral-infty^infty x^2n+1 psigma(x) , dx = 0
Isso porque a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico ao redor de zero sempre é zero.

Resposta

A média e o valor esperado das potências ímpares de são iguais a zero.

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