Calcule a média e o valor esperado das potências impares de
, i.e,
Passo 1
Beleza, vamos começar! Você quer calcular a média e o valor esperado das potências ímpares de
, ou seja,
. Para isso, vamos trabalhar com integração envolvendo funções de probabilidade. Vamos precisar entender um pouco de estatística, especialmente sobre distribuições simétricas e propriedades de integrais de funções ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. O valor esperado de uma função de
é dado pela integral de
vezes a função de densidade de probabilidade
:
No seu caso,
, que é uma potência ímpar.
Passo 3
Agora, vamos considerar a forma da função de densidade de probabilidade
. Geralmente,
representa uma distribuição simétrica em torno de zero, como a distribuição normal (Gaussiana):
Essa distribuição é simétrica porque
.
Passo 4
Quando temos uma função ímpar multiplicada por uma função par e simétrica, como é o caso aqui, a integral de
a
resulta em zero. Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Matematicamente, uma função
é ímpar se
. No nosso caso,
é uma função ímpar e
é uma função par.
Passo 5
Aplicando essa propriedade, temos:
Isso porque a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico ao redor de zero sempre é zero.
Resposta
A média e o valor esperado das potências ímpares de
são iguais a zero.
Exercícios relacionados
Mostre que a distribuição é normalizada, i.e,
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
Calcule a média e o valor esperado das potências pares de
, i.e,
Mostre que podemos reescrever as expressões acima usando a função de Heaviside
, i.e,
Ou seja, a função de Heaviside é a função de Green para a derivada.