Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
F(x) = ln(1 + |sen(x)|)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função é periódica. Isso significa que precisamos descobrir se existe um intervalo depois do qual a função começa a se repetir indefinidamente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções periódicas, a função seno e como o valor absoluto e o logaritmo influenciam na periodicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é periódica se existe um número tal que para todo . Esse número é chamado de período da função.

Passo 3

Sabemos que a função seno, , é periódica com período . Isso quer dizer que para todo .

Passo 4

Agora, vamos olhar para . O valor absoluto da função seno basicamente reflete os valores negativos para positivos, o que faz com que a função se repita duas vezes no intervalo de a . Portanto, a função tem um período de .

Passo 5

Em seguida, adicionamos 1 a , ficando com . A adição de uma constante não altera a periodicidade da função, então também tem período .

Passo 6

Por fim, aplicamos o logaritmo natural nessa expressão: . O logaritmo é uma função contínua e crescente, e ao ser aplicada a uma função periódica que sempre se repete, mantém a periodicidade. Assim, também terá o mesmo período de .

Resposta

A função é periódica com período igual a .

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