Mostre que a distribuição é normalizada, i.e,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a distribuição
está normalizada. Isso significa que a integral da função de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Aqui, estamos lidando com distribuições normais, que são fundamentais em estatística e probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral de
de
a
e verificar se o resultado é 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função de uma distribuição normal. Geralmente, a função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal é dada por:
Aqui,
é o desvio padrão da distribuição. Nosso objetivo é integrar essa função de
a
e mostrar que o resultado é 1.
Passo 3
Vamos escrever a integral que precisamos resolver:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição para simplificar a expressão exponencial. Vamos definir:
Passo 4
Agora, substituímos
por
na integral:
Simplificando:
Passo 5
Agora, reconhecemos que a integral:
é a integral da função de densidade de uma distribuição normal padrão (com
), que sabemos que integra para 1.
Resposta
Portanto,