Mostre que a distribuição é normalizada, i.e,
integral-infty^infty psigma(x) d x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a distribuição está normalizada. Isso significa que a integral da função de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Aqui, estamos lidando com distribuições normais, que são fundamentais em estatística e probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral de de a e verificar se o resultado é 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a função de uma distribuição normal. Geralmente, a função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal é dada por:
psigma(x) = 1sigma raiz2pi e^ -x^22sigma^2
Aqui, é o desvio padrão da distribuição. Nosso objetivo é integrar essa função de a e mostrar que o resultado é 1.

Passo 3

Vamos escrever a integral que precisamos resolver:
integral-infty^infty psigma(x) , dx = integral-infty^infty 1sigma raiz2pi e^ -x^22sigma^2 , dx
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição para simplificar a expressão exponencial. Vamos definir:
u = xsigma Rightarrow du = dxsigma Rightarrow dx = sigma , du

Passo 4

Agora, substituímos integral-infty^infty 1sigma raiz2pi e^ -x^22sigma^2 , dx = integral-infty^infty 1sigma raiz2pi e^ -(sigma u)^22sigma^2 cdot sigma , du por = integral-infty^infty 1raiz2pi e^ -u^22 , du na integral:
Simplificando:

Passo 5

Agora, reconhecemos que a integral:
integral-infty^infty 1raiz2pi e^ -u^22 , du
é a integral da função de densidade de uma distribuição normal padrão (com ), que sabemos que integra para 1.

Resposta

Portanto,
integral-infty^infty psigma(x) , dx = 1

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Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
F(x) = ln(1 + |sen(x)|)
Calcule a integral integral-1^1(x^5-6 x^9+sen x(1+x^4)^2) d x.
Calcule a média e o valor esperado das potências impares de x, i.e,
lang<= x^2 n+1rang<==integral-infty^infty x^2 n+1 psigma(x) d x
Calcule a média e o valor esperado das potências pares de x, i.e,
lang<= x^2 nrang<==integral-infty^infty x^2 n psigma(x) d x