Mostre que a distribuição é normalizada, i.e,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a distribuição
está normalizada. Isso significa que a integral da função de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Aqui, estamos lidando com distribuições normais, que são fundamentais em estatística e probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral de
de
a
e verificar se o resultado é 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função de uma distribuição normal. Geralmente, a função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal é dada por:
Aqui,
é o desvio padrão da distribuição. Nosso objetivo é integrar essa função de
a
e mostrar que o resultado é 1.
Passo 3
Vamos escrever a integral que precisamos resolver:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição para simplificar a expressão exponencial. Vamos definir:
Passo 4
Agora, substituímos
por
na integral:
Simplificando:
Passo 5
Agora, reconhecemos que a integral:
é a integral da função de densidade de uma distribuição normal padrão (com
), que sabemos que integra para 1.
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
Calcule a integral
.
Calcule a média e o valor esperado das potências impares de
, i.e,
Calcule a média e o valor esperado das potências pares de
, i.e,